5. Линейные операторы

1. Основные понятия и формулы

1. Понятие линейного оператора

Пусть – линейное пространство (геометрических) векторов на плоскости. Фиксируем базис в и будем отождествлять вектор с арифметическим вектором-столбцом: .

Каждая квадратная матрица второго порядка определяет линейный оператор в линейном пространстве – преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору вектор по правилу

(6.1)

Вектор называется образом вектора .

Если считать, что начало каждого вектора находится в одной точке , то линейный оператор можно рассматривать и как преобразование точек плоскости, преобразующее конец вектора в конец его образа .

Аналогично, квадратная матрица -го порядка определяет линейный оператор в – преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору-столбцу вектор-столбец по правилу

Точно так же, как мы отождествляем при фиксированном базисе вектор с его координатным столбцом, будем отождествлять линейный оператор с задающей его матрицей.

2. Примеры линейных операторов

1. Тождественный (единичный) оператор – единичная матрица ; каждый вектор преобразует в него же.

2. Нулевой оператор – нулевая матрица; любой вектор преобразует в нулевой.

3. Оператор гомотетии (подобия) .

4. О ператор поворота на угол :

Каждый вектор на плоскости поворачивается на угол , не меняя длины (рис. 6.1).

3. Свойства линейных операторов. Действия с линейными операторами

Из определения ясно, что любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой: . Из свойств умножения матриц следует, что

1. линейный оператор преобразует сумму векторов в сумму их образов: ;

2. линейный оператор преобразует произведение вектора на число в произведение образа вектора на то же число: .

Верно и обратное: любое преобразование векторов со свойствами 1)-2) является линейным оператором.

Действия сложения квадратных матриц, умножения матрицы на число, умножения матриц, обращения матриц можно рассматривать и как действия с линейными операторами.

Пусть и – две квадратные матрицы одного порядка, матрица , как линейный оператор, преобразует вектор в вектор , а матрица как линейный оператор, преобразует вектор в вектор . Таким образом, матрица – произведение соответствует последовательному действию двух линейных операторов – сначала , потом .

Пусть – обратимая квадратная матрица, то есть и потому существует обратная матрица . Если матрица , как линейный оператор, преобразует вектор в вектор , то обратная матрица , как линейный оператор, преобразует «наоборот» вектор в вектор : ; поэтому говорят, что – обратный оператор. Равенства означают, что последовательное действие оператора и обратного оператора дает тождественный оператор .

4. Собственные значения и собственные векторы

Собственным вектором линейного оператора (матрицы)

,

соответствующим собственному значению называется ненулевой вектор такой, что

. (6.2)

Таким образом, линейный оператор преобразует свой собственный вектор в вектор ему коллинеарный (сонаправленный с при и противоположно направленный при ). Любой ненулевой вектор , коллинеарный собственному вектору , также является собственным, соответствующим тому же собственному значению :

.

В координатах равенство (6.2) имеет вид

(6.3)

Это система линейных уравнений относительно координат , собственного вектора. Она имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю:

. (6.4)

Таким образом, для нахождения собственных значений получили квадратное уравнение (6.4). Оно называется характеристическим уравнением. Найдя из него собственное значение , надо подставить его в (6.3). Решив полученную систему линейных уравнений, найдем координаты и собственного вектора, соответствующего собственному значению .

Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейный оператор не имеет собственных векторов. Например, их нет у оператора поворота на угол , .

Аналогично, формула (6.2) определяет собственный вектор , соответствующий собственному значению , для квадратной матрицы -го порядка (линейного оператора в ) при любом . Собственные значения находятся из характеристического уравнения

.

Для каждого собственного значения координаты ,…, соответствующего собственного вектора находятся из системы линейных уравнений