5. Базисы на плоскости и в пространстве

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара

линейно независимых (неколлинеарных) векторов. Поскольку три вектора на плоскости линейно зависимы, то любой вектор на плоскости можно единственным образом разложить по базису – представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

,

где числа , – координаты вектора в выбранном базисе (рис. 5.2).

Записи и означают, что вектор имеет в выбранном базисе координаты , .

Б азисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов. Поскольку четыре вектора в пространстве линейно зависимы, то любой вектор в пространстве можно разложить по базису – представить в виде линейной комбинации базисных векторов (рис. 5.3):

, .

Числа определяются по вектору однозначно; они называются координатами вектора в выбранном базисе. Используется также запись или .

Таким образом, при фиксированном базисе на плоскости (в пространстве) каждый вектор однозначно описывается упорядоченным набором из двух (трех чисел). Все действия с векторами: линейные операции, а также действия, которые будут определены в дальнейшем, выражаются через координаты векторов, то есть сводятся к числовым вычислениям. В этом и состоит смысл введения координат.

Линейные операции в координатах. Если в некотором базисе в пространстве , , то в том же базисе

, , (5.2)

то есть при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число λ каждая координата вектора умножается на это число.

Аналогичное правило, конечно, верно и для векторов на плоскости.

Критерий коллинеарности: Два ненулевых вектора и коллинеарны (линейно зависимы) тогда и только тогда, когда они и их координаты пропорциональны:

. (5.3)

Критерий компланарности: Три вектора , и компланарны (линейно зависимы) тогда и только тогда, когда определитель

. (5.4)

Ортонормированным базисом называется базис из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Фиксированный ортонормированный базис на плоскости будем обозначать , в пространстве – .

6. Базисы в линейном пространстве

Упорядоченный набор векторов

(5.5)

линейного пространства образуют базис в , если

1. векторы (5.5) линейно независимы,

2. любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов (5.5):

. (5.6)

Равенство (5.6) называется разложением вектора по базису (5.5). Для каждого вектора числа определяются однозначно; они называются координатами вектора в базисе (5.5).

При фиксированном базисе соответствие между векторами и их координатными строками – арифметическими векторами взаимно-однозначно: каждому вектору соответствует единственная строка, разным векторам – разные строки. Как и в случае геометрических векторов, при сложении двух векторов их координатные строки складываются, при умножении на число – умножаются на это число. Вышесказанное позволяет при выполнении линейных операций фактически отождествить вектор с его координатной строкой и писать .

Линейные пространства, в которых существует базис, называются конечномерными. Можно показать, что любой базис в конечномерном линейном пространстве содержит одно и то же число векторов. Это число называется размерностью линейного пространства ; говорят, что – -мерное линейное пространство и обозначают его с указанием размерности: .

Согласно п. 5.1.5 линейное пространство геометрических векторов на плоскости двумерно, линейное пространство геометрических векторов в пространстве трехмерно. Пространство -мерно.

Линейное пространство, в котором существует любое число линейно независимых векторов и потому не существует базиса, называется бесконечномерным. Например, бесконечномерным является линейное пространство всех функций на (см. задачу 5.3.20).