3. Линейные пространства

Операции сложения и умножения на число определены не только для геометрических векторов, но и для матриц, функций и других объектов. Все они удовлетворяют свойствам 1) – 8). Естественно изучать свойства операции сложения и умножения в «чистом виде» отвлекаясь от конкретной природы объектов, с которыми производятся эти операции. Эта идея приводит к понятию линейного пространства.

Линейным (или векторным) пространством называется множество объектов любой природы, которые будем называть (абстрактными) векторами и далее обозначать , , …, такое, что

1. для любых векторов , определен вектор из , обозначаемый и называемый суммой и ;

2. для любого вектора и любого действительного числа определен вектор из , обозначаемый и называемый произведением вектора на число ;

3. в выделен нулевой вектор ;

4. для любого вектора определен вектор из , обозначаемый и называемый вектором, противоположным вектору ;

причем для любых векторов , , из и для любых действительных чисел , имеют место свойства 1) – 8).

Примеры линейных пространств

1. Множества и всех геометрических векторов на плоскости и в пространстве.

2. Множество всех -матриц, с операциями сложения и умножения на число, введенными в п. 2.1.1.

3. Арифметическое пространство – множество всех упорядоченных наборов из чисел – арифметических векторов, которое мы будем записывать в виде матрицы-строки . Сумма арифметических векторов и : , произведение вектора на число : , нулевой вектор , вектор, противоположный вектору : .

Конечно, то же самое, что . С другой стороны, можно считать, что – элементы -матрицы можно выписать последовательно в виде строки из элементов.

Иногда удобно записывать арифметический вектор в виде матрицы-столбца

,

то есть можно считать .

4. Множество всех функций, заданных на числовой прямой с операциями сложения и умножения на число:

: и : .

Роль нулевого вектора играет нулевая функция – принимающая значение 0 при всех значениях .

4. Линейная зависимость и линейная независимость

Векторы в линейном пространстве называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация равная нулю

(5.1)

с коэффициентами , среди которых хотя бы один отличен от нуля, то есть . Если соотношение (5.1) выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов (т.е. выражается через них). Соответственно, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ни один из них не является линейной комбинацией остальных векторов.

Геометрический смысл линейной зависимости двух векторов: Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны – параллельны одной прямой.

Геометрический смысл линейной зависимости трех векторов: Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны – параллельны одной плоскости.

Таким образом, любые три вектора на плоскости линейно зависимы. Уже любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.