3. Задачи для самостоятельного решения

В задачах 4.3.1–4.3.6 найти ранги матриц.

, .	, .
.	.
.	.

В задачах 4.3.7–4.3.12 исследовать совместность линейных систем.

7. 

8. 

3. Линейные операции над векторами

1. Основные понятия и формулы

1. Понятие вектора

Вектором (геометрическим вектором) будем называть отрезок на плоскости или в пространстве, на котором выбрано направление (на рисунке оно изображается стрелкой) от начала А к концу В, и обозначать его или строчной латинской буквой со стрелкой , , …

Длиной или модулем вектора – называется длина соответствующего отрезка ; она обозначается . Если вектор обозначен , то его длина – .

Векторы и называются равными ( ), если совпадают их длины и направления. Мы не будем различать равные векторы, считая их одним и тем же вектором, но с началом, помещенным в разные точки ( и ).

Определим также нулевой вектор , начало и конец которого совпадают. Длина его , а направление нулевому вектору не приписывается. Однако удобно считать, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любой прямой и любой плоскости.

Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

В физике многие величины (скорости, силы, моменты сил и т.д.) характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением. Такую величину принято описывать вектором, модуль которого равен числовому значению величины, а направление совпадает с направлением этой величины.

2. Линейные операции над векторами

Пусть и – векторы на плоскости (в пространстве).

С уммой векторов и называется вектор , определяемый по «правилу треугольника»: строим так, чтобы , , тогда (рис.5.1).

Если векторы не параллельны, то их сумму можно найти по «правилу параллелограмма»: строим параллелограмм так, чтобы , , тогда – диагональ параллелограмма (рис. 5.1). Это правило удобно для нахождения суммы векторов сил, приложенных в одной точке – равнодействующей силы.

Произведение вектора на число ( ) называется вектор , длина которого равна произведению на , а направление то же, что и у вектора при и противоположное при (при получается нулевой вектор: ).

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Линейные операции имеют следующие основные свойства.

Для любых векторов , , на плоскости (в пространстве) и для любых действительных чисел , :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Свойства 1) – 3) позволяют определить сумму любого числа векторов, не зависящую от порядка суммирования.

Выражение называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Для любых векторов и существует единственный вектор , такой что . Он называется разностью векторов и , обозначается и находится по формуле .