Различны ли сорта при уровне значимости ? Если это так, то является ли бензин с октановым числом 94 значимо лучше?

Решение : Проверяем гипотезу : .

При условии, что ( об этом ниже ).

.

- различие значимо. Гипотеза принимается

(не отвергается).

Теперь проверим гипотезу : . ( )

;

1, 4 > 0, 59 Гипотеза также принимается.

Проверка гипотез для дисперсий.

Проверить, отличается ли выборочная дисперсия от стандартной , заранее известной – ( ) можно, используя распределение, которому подчиняется выборочная дисперсия.

Для двух случайных величин и проверка выборочных дисперсий проводится с помощью F-распределения. При этом можно пользоваться следующей таблицей:

Гипотеза	Используемый критерий	Число степеней свободы	Решение	Замечания
			Гипотеза принимается, если неравенства справедливы	Двусторонний критерий
			Гипотеза принимается, если неравенства справедливы	Односторонний критерий
			Гипотеза принимается, если неравенства справедливы	Односторонний критерий
			Гипотеза принимается, если неравенства справедливы	Двусторонний критерий F. Проверять нужно только правое ограничение, так как
			Гипотеза принимается, если неравенства справедливы	Двусторонний критерий F.

Для примера рассмотрим критерий F из четвёртой строки. Проверяем гипотезу ;  . Так как всегда <1, проверяем только правое неравенство, то есть .

Пример. Смонтированы две опытные установки.

Получены результаты

	Установка А (кг)	Установка В (кг)
	97, 8 98, 9 101, 2 98, 8 102, 0 99, 0 99, 1 100, 8 100, 9 100, 5	97, 2 100, 5 98, 2 98, 3 97, 5 99, 9 97, 9 96, 8 97, 4 97, 2
	99, 9	98, 1
	1, 69	1, 44

Проверить равенство дисперсий Н₀:

.

При находим .

1, 17<4, 03.

Гипотеза принимается.

Отличие дисперсий незначимо.

Построение линейной регрессионной модели с одной независимой переменной.

Одной из основных задач обработки данных является установление функциональной зависимости между переменными (параметрами) исследуемого процесса. Зачастую такие зависимости не очевидны, или слишком сложны. В таком случае ставится задача аппроксимации функциональной связи по эмпирическим данным. Эта задача решается с помощью регрессионного метода, который был назван известнейшим специалистом в области обработки данных Тьюки методом века.

Аппроксимацией называется подбор математического выражения, описывающего связь между экспериментальными данными. Само математическое выражение называют уравнением регрессии (регрессией), а соответствующую кривую - линией регрессии [1]. Простейшей регрессионной зависимостью является линейная. Если между переменными существует линейная функциональная связь, то результаты измерений будут концентрироваться около прямой, отражающей эту зависимость. Отклонения от прямой вызваны погрешностью измерений.

В случае двух переменных одна из них - X рассматривается как независимая и называется фактором или предиктором, вторая переменная Y является зависимой и называется откликом. Таким образом ,уравнение Y относительно X - уравнение регрессии ( говорят что Y регрессирует на X).

В случае линейной модели уравнение регрессии имеет вид:

, (1)

где ₀ и ₁ параметры модели;

 - остаточный член, обусловленный влиянием погрешностей измерений, случайных вариаций Y и погрешностью модели.

Погрешность модели возникает в случае замены какой - либо более сложной модели линейной зависимостью.

Оценки параметров модели (₀ и ₁) находятся по результатам наблюдений.

Модель (1) является линейной первого порядка. Порядок модели определяется наивысшей степенью предиктора. Так модель

(2)

является линейной (относительно параметров ) третьего порядка..

В результате построения модели находятся оценки параметров b₀ и b₁ Уравнение регрессии, соответствующее уравнению (1), имеет вид

, (3)

где - расчетное или прогнозируемое значение Y для данного X.

МНК - оценки параметров получаются минимизацией суммы квадратов отклонений от «истинной» линии.

где n - число независимых наблюдений величин Х_i и Y_i

Получены следующие МНК оценки параметров ₀ и ₁[2]

, (5)

где - средние значения наблюдаемых величин X и Y. Подставляя оценки (5) в уравнение (3), можно вычислить «прогнозируемые» значения и найти остатки . Для правильно построенной модели сумма остатков равна 0.