Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

1. n математических ожиданий m₁, m₂,..,m_n

2. n дисперсий D₁, D₂,..,D_n

3. n(n-1) корреляционных моментов k_ij =

( при i = j ) имеем дисперсии D_i = k_ii = = D_x

Корреляционный момент описывается ковариационной ( корреляционной ) матрицей

[k_ij] = - симметричная диагональная матрица

[r_ij] = - нормированная ковариационная матрица

Двумерный нормальный закон распределения

Для двумерного закона (x₁, x₂) или (x,y) имеем

f(x,y) =

при r = 0 ( то есть величины не коррелированы )

f(x,y) = = f(x)f(y)

То есть для нормального закона справедливо утверждение:

если случайные величины некоррелированы, то они независимы.

Законы распределения, связанные с нормальным

1. - распределение

Если - случайная, нормально распределенная величина (0,1) математическое ожидание = 0, дисперсия = 1, то

=

Сумма квадратов случайных величин имеет - распределение.

2. Величина t = имеет t - распределение Стьюдента.

f(t) = , где Г(p) = dx - гамма -функция

Критерии качества оценок

1. Несмещенность.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно значению параметра.

Пример: E( ) = E = = nm_x = m_x

E( ) =

2. Состоятельность.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки оценка сходится по вероятности к значению ожидаемого параметра, то есть при любых, сколь угодно малых положительных и существует точка N, что при всех n > N вероятность того, что больше чем 1 - .

Запись состоятельной оценки: P[ ] > 1 - или P(lim ) = Q

3. Эффективность.

Из двух несмещенных оценок и оценка более эффективна, если D[ ] меньше, чем D[ ]. То есть несмещенная оценка особенно привлекательна, когда ее распределение компактно сконцентрировано около ее математического ожидания.

Иногда используют смещенные оценки. В этих случаях дисперсия

!? смещенной оценки должна быть намного меньше дисперсии

несмещенной оценки, чтобы сумма квадратов отклонений была

минимальной.

Оценивание параметров процессов по результатам измерений.

Результаты измерений содержат информацию о параметрах технологических процессов. Задача первичной обработки - получить оценки параметров. Так как параметр флюктуировать относительно своего значения, то нас интересуют в первую очередь две оценки: оценка параметра сдвига

оценка параметра масштаба

Параметр сдвига - математическое ожидание случайной величины

Параметр масштаба - дисперсия случайной величины

В результате обработки получаются оценки параметров. Математический аппарат, используемый при первичной обработке - математическая статистика.