Случайная величина и ее характеристики

Вероятность суммы двух независимых случайных событий равна сумме вероятностей этих событий

P(A+B) = P(A) + P(B); P( _i) = P(A_i)

События называются зависимыми, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

P(A*B) = P(A)*P(B) Обобщая, P(Пa_i) = ПP(A_i)

Для зависимых событий:

P(A*B) = P(A)*P(B/A)

P(A*B) = P(B)*P(A/B)

Основные законы распределения случайных величин.

Биномиальное распределение

Вероятность того, что при проведении n независимых опытов, событие А появится ровно m раз.

Вероятность появления А в одном опыте равна p, вероятность появления равна q ; (q = 1-p)

P_m,n = p^mq^n-m

Равномерное распределение

F(x) =

E[x] = m_x = ; = D_x = µ₂ =

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

f(x) = , m - математическое ожидание

- средне квадратичное отклонение

Действительно, можно показать, что

M[x] = f(x)dx = dx = m

D[x] = dx =

Нормированная нормальная случайная величина t

t = ; Ф[x] = dt - функция Лапласа или интеграл вероятности

Ф[x] - табулирована

P(a x < b) = dt =

Закон редких событий (закон Пуассона)

P_m = , P_m - вероятность того, что на отрезок длинной l попадает ровно m точек, - математическое ожидание числа точек, приходящихся на одну длину ( средняя плотность ), - среднее число точек на отрезке.

Системы случайных величин

Функции распределения случайных величин

F(x, y) = P((X < x)(Y < y))

Плотность распределения вероятностей случайных величин

f(x, y) = - элементарные вероятности

P((X,Y) D) = dxdy

Геометрически вероятность попадания в область D изображается объемом цилиндрического тела С, ограниченного сверху поверхностью распределения и

опирающеюся на область D.

Свойства плотности распределения двух величин:

f(x,y) 0

dxdy = 1

F₁(x)=F = dxdy

f₁(x) = F (x) = dy

f₂(y) = F (y) = dx

f(x,y) dxdy = P[(x < X < x + dx)(y < Y < y + dy)]

Условная плотность вероятности - f(x\y)

f(x\y) = =

f(y\x) = = ,

то есть f(x,y) = f(x)f(y\x)

! Для независимых случайных величин f(x,y) = f(x)f(y)

Числовые характеристики системы двух случайных величин

1. Начальный момент порядка k,s

a_k,s = M[x^k y^s]

2. Центральный момент порядка k,s

_k,s = M[ ^{k s}] ; = x - m_x

= y - m_y

то есть a_k,s = f(x,y) dxdy

_{k,s =} f(x,y) dxdy

Первые начальные моменты

- координаты средней точки

Вторые центральные моменты - дисперсии и

D_x = _2,0 = M[ ^{2 0}] = M[ ²] = D[x]

D_y = _0,2 = D[y]

Второй смешанный центральный момент - корреляционный момент

k_ks = M[ ] = M[(x-m_x)(y-m_y)]

k_ks = (x_i - m_x) (y_j - m_y) P_ij

R_xy = - коэффициент корреляции ( безразмерная величина )

! Для независимых случайных величин корреляционный момент 0 !

Системы случайных величин (n > 2)

Закон распределения случайной величины - полная ее характеристика.

F(x₁, x₂,.., x_n) = P((X₁ < x₁) (X₂ < x₂) ..(X_n < x_n)) - функция распределения

f(x₁, x₂,.., x_n) = - плотность распределения

F₁(x) = F[x₁, ]

Условная плотность распределения

f(x₁,..,x_k\ x_k+1,..,x_n) =

Для независимых случайных величин f(x₁, x₂,.., x_n) = f(x₁)..f(x_n)

Вероятность попадания случайной точки (x₁,.., x_n) в пределы n - мерной области D:

P((x₁, x₂,.., x_n) D) = dx₁... dx_n