Можно левые части уравнения заменить приближёнными соотношениями вида:

Вводя обозначения: , получаем

Обозначив , перепишем

Теперь вместо непосредственного отыскания величин целесообразно отыскивать поправки к очередному приближению , предполагая, что связь между измерениями и искомыми поправками , j=1,2,...,N – линейная - .

Рассмотренная выше процедура - линеаризация задачи обработки данных. Поправки обычно вычисляются при обработке данных избыточных измерений.

Если требуемая точность невелика, то можно ограничиться лишь получением начального приближения. Если решаемая задача – линейная, то можно сразу же приступить ко второму этапу, минуя первый.

3. Статистическая обработка измерений. Задача обработки измерений: отыскать методы построения оценок, при которых отсутствует смещение оценки, а дисперсия оценок – наименьшая – т.Е. Эффективных оценок.

В фундаментальной системе уравнений число неизвестных, как правило, меньше числа уравнений (бывает и наоборот). Если это так , т.е. n>N , то система переопределена (В противном случае имеем дело с не доопределенной системой).

Если считать, что , то система не доопределена.

При определённых каким-либо образом величины называются невязками i-го измерения.

Если положить , то получим переопределённую систему уравнений, в общем случае несовместную – противоречивую. Эта противоречивость – искусственная, основанная на предположении, что .

Оставляя N-уравнений приходим к задаче обработки по минимуму данных. Применяя затем избыточные измерения можно существенно повысить точность определения параметров . При этом строится некоторая функция вектора невязок и ищется её минимум в пространстве параметров (или ). Получаемые при этом значения называются оценками параметров (обычно обозначаются ).

Оценки - функции от измерений, т.к. .

, т.е. , а .

В точке минимума ( ):

Вид функции зависит от вида и наоборот.

При заданной всегда можно указать такую, что минимум достигается в точке .

Основные понятия теории вероятности (краткий обзор).

Случайная величина и ее характеристики

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное (случайное) значение.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. С точки зрения подхода случайная величина - это просто числовое отношение исхода опыта. Со случайной величиной связана вероятность ее появления.

Вероятность есть отношение числа благоприятных исходов опыта (y) к их полному числу (n), при n . P = lim y/n . Достоверное событие P=1,

n

невозможное событие P=0.

Функция распределения вероятностей

Функцию распределения вероятностей определяют как вероятность события, заключающегося в том, что наблюдаемая величина X меньше или равна допустимому ее значению x, то есть

Fx(x) = P (X x)

1. 0  F_x(x)  1 -  x 

2. F_x(- ) = 0 ; F_x( ) = 1 ;

3. F_x(x₂) > F_x(x₁) при x₂ > x₁

4. P(x₁ < x  x₂) = F(x₂) - F(x₁)

Плотность распределения вероятности

- Производная от F_x(x).

f_x(x)dx = P(x < x  x + dx) - элемент вероятности ( вероятность того, что случайная величина лежит в диапазоне между x и x + dx )

Свойства плотности вероятности :

1. f(x)  0 - < x <

2. f(x)dx = 1

3. F_x(x) = f(u)du

4. f(x)dx = P(x₁ < x  x₂)

Средние значения и момент случайных величин

= Ex = Mx = xf(x)dx -

математическое ожидание величины x - центр тяжести стержня

1. Первый начальный момент ( начальный момент порядка n:

E[xⁿ] = ⁿf(x)dx )

2. Второй начальный момент ( начальный момент второго порядка )

_­­­­­ ² = E[x²] = ²f(x)dx

в технике - усредненный по времени квадрат случайного напряжения

или тока. Средняя мощность ( шума ).

3. Центральные моменты - моменты разности случайной величины Х и ее математического ожидания, то есть начальные моменты центрированной случайной величины.

ⁿ E[ ⁿ] = ⁿ f(x)dx

Центральные моменты характеризуют разброс случайной величины

относительно среднего ( математического ожидания ).

Первый центральный момент n=1 равен 0

¹ f(x)dx = f(x)dx - f(x)dx = f(x)dx = 0

Второй центральный момент n=2 - дисперсия

²_x = ² = ² f(x)dx = ² - ( )²

_x - стандартное или среднеквадратичное отклонение

Основные теоремы теории вероятности.