Действующие и средние значения переменного тока и напряжения

Действующим значением переменного тока называется его значение, которое числено равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду переменного тока, производит такую же работу, что и переменный ток.

Действующие значения тока и напряжения обозначаются прописными буквами без индексов: I, U.

Действующие значения переменного тока и напряжения называют также эффективными их значениями.

Связь между действующим значением переменного тока и его амплитудой можно найти, сравнивая тепловой эффект переменного тока и эквивалентного ему постоянного тока. Работа переменного тока за время периода в каком-либо резистивном элементе с сопротивлением r будет равна:

Подставив в это выражение sin²ωt = 1/2(1-cos2ωt), получим:

Второй интеграл в этой формуле равен нулю и поэтому

Работа эквивалентного постоянного тока за это же время

Из условия равенства , получим:

Откуда действующее значение переменного тока

Таким образом, для синусоидального переменного тока действующее значение в раз меньше амплитудного.

Выражение для действующего значения напряжения будет иметь аналогичный вид:

Таким образом, в расчетах электрических цепей переменный ток с бесконечным периодическим рядом мгновенных значений i заменяется неизменным по величине и знаку током I .

Измерительные приборы для цепей переменного тока обычно градуируются на показания действующих значений токов и напряжений. Иногда возникает необходимость в использовании среднего значения переменных величин. Среднее значение переменного тока определяется за половину периода, так как за период оно равно нулю и, естественно, интереса не представляет.

Среднее значение переменного тока

Таким образом ; аналогично

Отношение амплитуды к действующему значению называется коэффициентом амплитуды:

Отношение действующего значения к среднему значению называется коэффициентом формы:

Для синусоидально изменяющихся величин

,

Векторные диаграммы переменного тока

Графическое изображение синусоидальных величин в виде синусоид достаточно неудобно. Тем более громоздко и неудобно графическое сложение или вычитание синусоидальных величин . Подобные задачи решаются значительно проще при использовании так называемых векторных диаграмм.

Векторной диаграммой называется графическое изображение синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся радиус-векторов.

Если принять за величину радиус-вектора амплитудное значение какой-либо синусоидальной величины (например тока I_m, напряжения U_m и т.д.) и вращать вектор против хода часовой стрелки с постоянной угловой скорость, равной угловой частоте ω, то его проекция на ось ординат будет давать соответствующие мгновенные значения этих величин.

Пусть, например, мгновенное значение э.д.с. для некоторого момента времени будет

е=Е_m sinωt .

Проведем вектор ОВ под углом ωt к радиусу ОА, принятому за начальный (рис.4).

За величину радиуса примем амплитудное значение э.д.с. E_m .

Проекция векторов ОВ на ось ординат равна мгновенному значению э.д.с. в принятом при построении диаграммы масштабе. Действительно из треугольника ОВС следует, что

О С=ОВsin ωt, но ОВ=E_m, следовательно, ОС в том же масштабе соответствует мгновенному значению э.д.с. e = E_msinωt.

Из построения непосредственно следует, что в течение одного периода вектор диаграммы делает один полный оборот. График колебательного процесса может проходить через начало координат. Так, например, пусть имеется э.д.с.

e=E_m sin(ωt+ ψ )

Вектор, изображающий эту э.д.с., будет в начальный момент времени (t=0) повернут против часовой стрелки на угол ψ (рис.5) от оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат для некоторого момента времени t равна в масштабе построения диаграммы мгновенному значению э.д.с.

ОС=ОВsin(ωt + ψ)=E_m sin(ωt + ψ) = e

Если начальная фаза ψ имеет отрицательное значение, угол ψ откладывается от оси абсцисс по ходу часовой стрелки. Чрезвычайно ценным свойством векторных диаграмм является простота и наглядность операций по сложению и вычитанию одноименных синусоидальных величин с одинаковой частотой.

Пусть, например, в точке разветвления цепи общий ток i равен сумме токов i₁ и i₂ двух ветвей: i=i₁+i₂. Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением:

i₁= I_m1 sin(ωt +ψ₁), i₂= I_m2 sin(ωt +ψ₂)

Результирующий ток также будет синусоидальным:

i= I_m1 sin(ωt +ψ₁)+ I_m2 sin(ωt +ψ₂)= I_m sin(ωt +ψ)

Определение амплитуды I_m и начальной фазы ψ этого тока путем аналитических преобразований громоздко и мало наглядно. Значительно проще это осуществить при помощи векторной диаграммы.

На рис.6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для момента времени t=0. При вращении этих

Векторов с одинаковой угловой скоростью ω их взаимное расположение не изменится и угол сдвига между ними останется равным

ψ₁ –ψ₂ .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения I_m и ψ

из диаграммы.

Вычитание мгновенных значений, например ток, i=i₁-i₂ ,

где i₁= I_m1 sin (ωt +ψ₁) , и i₂= I_m2 sin (ωt +ψ₂),

можно заменить вычитанием изображающих их векторов

как показано на рис. 7.

На диаграмме для определения амплитуды I_m результирующего вектора тока к вектору прибавлен обратный вектор .В соответствии с диаграммой результирующий ток определяется уравнением

i= I_m sin (ωt +ψ₁)

В большинстве случаев построение векторных диаграмм производится не для определения мгновенных значений синусоидальных величин, а для нахождения действующих значений при сложении или вычитании одноименных величин, а также для

Показа угла сдвига фаз между синусоидальными величинами. В этих случаях за величину радиуса-вектора принимают не амплитудное, а действующее значение данной величины. При этом расположение векторов относительно осей координат совершенно не существенно, и один из векторов (базисный вектор) можно расположить как угодно. Однако все остальные вектора должны быть правильно ориентированы по отношению к этому вектору.