Глава 2. Элементы общей алгебры

§1. Операции на множестве

Ранее рассматривались операции над множествами и их подмножествами, такие как объединение, пересечение, разность, дополнение. Результатом операции являлось некоторое множество. Теперь рассмотрим операции над элементами множества, результатом которых являются снова элементы этого же или другого множества. Раздел математики, изучающий общие свойства операций называется общей алгеброй, наряду с другими разделами: линейной алгеброй, векторной алгеброй, матричной алгеброй.

/i-арная операция на множестве М - отображение типа: , гдеМ - произвольное множество, не обязательно числовое; обозначение: . Для п — 1 операция

называется бинарной и вместо употребляется

a-b, fib ит.п.).

Частным случаем п -арной операции, когда М - числовое множество, является п -местная функция. Если же М - множество функций, то употребляют термин оператор: примером могут служить операторы дифференцирования функции одной или нескольких действительных переменных, ставящие в соответствие каждой функции ее производную или частную производную.

Множество М называется замкнутым относительно операции

если выполнено условие , т.е. применение

операции не выводит за пределы множества М .

Примеры. 1) Множества действительных, рациональных, целых чисел замкнуты относительно операций сложения, вычитания, умножения, причем первые два множества замкнуты и относительно операции деления (исключая деление на 0). Множество целых чисел не замкнуто относительно деления.

2) Множество четных целых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения: сумма и произведение четных чисел также четны. Напротив, множество нечетных чисел не замкнуто относительно тех же операций.

Если для некоторой операции рассмотреть отношение если или , то для любых двух элементов

множества, замкнутого относительно операции , выполнено , где - транзитивное замыкание отношения

§2. Свойства бинарных операций

Ассоциативной бинарной операцией называется операция, если она обладает свойством . Ассоциативность

' позволяет записывать последовательность таких операций без скобок: f . Ср. в арифметике формулы. Примером

U ассоциативных операций служат объединение и пересечение множеств. '• Операция деления не ассоциативна: (24:3):4 = 2, тогда как 24:(3:4) = 24 : '. 3/4 = 32. Также не ассоциативно вычитание. Проверьте это. Поэтому для I бесскобочной записи 20-5-7 принято специальное соглашение: она л означает (20-5)-7, но не 20-(5-7).

Г Коммутативной бинарной операцией называется операция,

,. обладающая свойством перестановочности:

Примеры. Сложение и умножение чисел, сложение и скалярное умножение векторов, сложение поворотов плоскости вокруг начала координат, вычисление частных производных функции нескольких переменных (напомним равенство смешанных частных производных : второго порядка . Примером некоммутативной

операции являются вычитание и деление чисел, умножение квадратных матриц.

Ассоциативными и коммутативными являются операции max( X, Y) и min( X, Y) на множестве чисел; поэтому можно употреблять записи ггах( X, Y, Z, Т), min( А, В, С).

Для описанных в п. 1.2. функциональных элементов, реализующих некоммутативные операции, необходимо правильное присоединение подсхем-аргументов к входам; различный порядок присоединения реализует разные функции. Обычно считается, что входы элемента упорядочены слева направо, и у 2-местного элемента левый вход соответствует первой переменной, правый - второй. Так, для операции вычитания оба варианта присоединения показаны на рис.7.

Дистрибутивность бинарной операции выражает распределительный закон, подобный арифметическому соотношению (а + Ь)с = ас + bc.

Дистрибутивность слева бинарной операции относительно бинарной операции - свойство, состоящее в том, что

£

Свойством дистрибутивности в арифметике обладает умножение относительно сложения, но не сложение относительно умножения.

Дистрибутивность справа бинарной операции относительно бинарной операции - свойство, состоящее в том, что

Дистрибутивность операций позволяет раскрывать скобки в формулах.

Вернемся к перечню свойств операций над множествами, приведенному в п. 1.1. Можно видеть, что свойства 1-2 выражают коммутативность, а свойства 3-4 - ассоциативность операций свойства 5-6 - взаимную дистрибутивность. Свойства 1-10 относятся только к операциям объединения и пересечения. Законы де Моргана 11, 12 связывают все три операции. Свойства 13-20 связаны с операциями над пустым множеством и универсальным множеством

U.