Меры близости и метризованные отношения.

Виды метризованных отношений. Основной вид экспертной информации о преимуществах во множестве альтернатив - это информация в виде эмпирических отношений, которые получены в процессе опроса экспертов. Отношения, полученные путем экспертного опроса, могут иметь такие свойства, как связность, транзитивность и т.д., а могут их и не иметь. С другой стороны свойства результирующего отношения могут быть известны a-priori, а результаты опросов экспертов в виде отношений этих свойств не иметь. В таком случае возникает задача аппроксимации полученного отношения ближайшем в определенном смысле отношением с заданными свойствами.

Метризованные отношения P^M являются двойкой P^M=<P,M(P)>, где Р – бинарное отношение, , где - число, которое характеризирует степень преимущества альтернативы x_i над альтернативой x_j, или в случае толерантности степень сходства этих альтернатив. Метризованные отношения P^M=<P,M(P)> называется рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, асимметричным, антисимметричным, транзитивным, если отношение Р имеет соответственные свойства. Свойство транзитивности по сравнению с неметризованными отношениями усиливается.

Самыми распространенными типами метризованных отношений являются аддитивный и мультипликативный.

Аддитивным называется метризованное отношение, для которого выполняется условие

,

где А – носитель Р.

Мльтипликативным называется метризованное отношение, для которого справедливо условие

Для аддитивных метризованных отношений показывает, «на сколько» альтернатива x_i лучше, чем x_j, для мультипликативных – «во сколько раз». P^M будем называть метризованным отношением частичного порядка, линейного порядка, толерантности или эквивалентности, если отношение Р имеет соответствующие свойства.

Элементы метризованного отношения P^M могут быть поданы несколькими способами. Представление в виде двойки P^M=<P,M(P)>, в виде одной матрицы . Если P^M – метризованное отношение частичного порядка, значение элементов определяются следующим образом:

где - число, которое показывает, на сколько x_i лучше, чем x_j. Если альтернативы x_i и x_j равноценны (эквивалентны), то , если несравнимые – то соответственно символ , получая в случае необходимости информацию о равноценности или несравнимости альтернатив непосредственно из матрицы Р.

Матрица метризованного отношения частичного (а так же линейного) порядка будет согласованной, если будет обратно симметричной, то есть . В этом случае0=-0 и =- . Согласованная матрица – это идеальный случай. На самом деле эмпирическая матрица будет иметь определенный уровень несогласованности сравнимо с идеальным случаем.

Для мультипликативных метризованных отношений частичного или линейного порядка, целесообразно определить следующим образом:

где - число, указанное экспертом, которое показывает во сколько раз x_i лучше, чем x_j.

Кроме этого в этой форме можно представить и неметризованные бинарные отношения Р:

что является эквивалентным представлением матрицы Р.

Такое представление имеет предпочтение, потому что появляется возможность оперировать лишь матрицей без использования матрицы Р соответственного неметризованного бинарного отношения.

Когда является отношением толерантности или эквивалентности, то измеряют степень подобности альтернатив x_i и x_j, и

,

и соответственная матрица Р^М является симметричной.

Метризованные отношения не только позволяют в числовой форме отобразить степень предпочтения одной альтернативы над другой с точки зрения ЛПР, но и предопределяют целый ряд вопросов: каким образом оценить близость или несоответствия утверждений экспертов, имея результаты в виде бинарных отношений?; каким эталонным бинарным отношением лучше аппроксимирует эмпирическое отношение, полученное в результате опроса экспертов?; какие действия можно выполнять с полученными экспертными результатами в форме метризованных бинарных отношений, а какие нет?; какие процедуры следует использовать для получения числовой информации о преимуществах в множестве альтернатив от эксперта?; каким образом оценить надежность и непротиворечивость эксперта?.