Для оценивания степени преимуществ в множестве альтернатив используются разнообразные шкалы измерений, для каждой из которых существуют свои допустимые преобразования.

Метризованные бинарные отношения позволяют учитывать степень преимущества для каждой пары альтернатив, то есть точнее, чем обычные бинарные отношения, учитывать степень преимуществ.

Шкалы измерений и их инвариантность

Преимущества ЛПР и шкалы измерения. В большинстве случаев решение должно приниматься на основе индивидуальных оценок каждого из группы экспертов – особенно это касается важных, комплексных, уникальных проблем, при решении которых необходимым является учет мнений экспертов разных направлений. Одной из основных процедур получения информации от эксперта – качественной или количественной - являются измерения.

Экспертов часто просят предоставить ранжирование (упорядочивание) объектов экспертизы, то есть расположить их в порядке по возрастанию или убыванию интенсивности характеристики, которая интересует организаторов экспертизы. Ранг – номер, или место (объекта экспертизы) в упорядоченном (вариационном) ряду значений характеристики у разных объектов. Формально ранги отображают числами 1, 2, 3 …, но с этими числами нельзя выполнять обычные арифметические операции.

Измерения – это присвоение числовых или нечисловых характеристик объектам или отдельным их свойствам по определенным правилам.

Все шкалы измерения делят на две группы – качественные и количественные шкалы.

Качественные шкалы измерения.

Порядковая шкала и шкала наименований – основные шкалы качественных признаков. Поэтому в большинстве конкретных областях результаты качественного анализа можно рассматривать как измерения по этим шкалам. Количественные шкалы позволяют установить количественное соотношение между объектами. В этом случае свойство содержит и единицу измерения. Шкалы количественных свойств – шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютных значений.

Шкалы наименований (номинальные) предусматривают лишь классификацию объектов или отдельных признаков объектов с целью их распознавания и установления их подобности или того что они отличаются один от одного. В таких шкалах число используется как название (имя).

Они основываются на следующих аксиомах идентификации. А или есть В, или не есть В. Если А есть В, то В есть А. Если А есть В и В есть С, то А есть С.

Номинальную шкалу так же называют классификационной. В шкале наименований допустимыми являются все взаимно однозначные преобразования. В этой шкале числа используются лишь как обозначения, то есть лишь для различия объектов. Единственная функция измерения в шкале наименований – это различия объектов.

Порядковые шкалы предусматривают ранжирование объектов или совокупности их признаков по приоритетам. Числа в этих шкалах отображают порядок расположения элементов – «место» (объектов или их признаков) по приоритетам. порядковые шкалы позволяют показать, что один объект лучше по определенному признаку сравнения, важнее, чем другие или равноценные ему. Но в порядковых шкалах нельзя определить меру доминирования, то есть измерить, насколько один объект лучше, важнее другого. Таким образом шкала определяет лишь порядок преимуществ альтернатив, и числовая система, в которую гомоморфно отображается эмпирическая система, должна лишь сохранять порядок в множестве вариантов решений. В порядковой шкале значения числовой системы определяются с точность до монотонного преобразования . Кроме предыдущих аксиом для шкалы наименований действуют еще и следующие аксиомы упорядочивания в множестве вариантов решений: если А лучше (или равноценна) В, то В не лучше А; справедливо одно из двух утверждений – или А лучше (или равноценно) В, или В лучше (или равноценно) А; если А лучше (или равноценна) В и В лучше (или равноценна) С, то А лучше (или равноценна) С. Последняя аксиома называется аксиомой транзитивности. В порядковых шкалах допустимо любое взаимно однозначное монотонное преобразование соотношения объектов и числа используются не только для различия объектов, но и для установления порядка между ними. В порядковой шкале допустимы все строго увеличивающиеся преобразования.

Количественные шкалы измерений. Шкалы интервалов имеют следующие свойства: одинаковые разницы числовых значений, которые измерены в этих шкалах, соответствуют одинаковой разнице измеряемого признака. Однако разные шкалы могут иметь разные нулевые точки отсчета. Таким образом, интервальные шкалы позволяют измерить «расстояние» между объектами, определить насколько один объект лучше другого в определенной единице измерения. Замена одной интервальной шкалы другой допустима в пределах линейного преобразования , то есть значение числовой системы в шкале интервалов определяются с точностью до линейного преобразования. В шкале интервалов сохраняется отношение разностей числовых оценок, потому что

Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам избрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, то есть линейные функции.

Шкалы отношений или метрические (пропорциональные), имеют естественную нулевую точку отсчета. Пропорциональные шкалы позволяют определить, во сколько раз один объект больше другого. Тут в отличии интервальной шкалы, существует нулевая точка отсчета, и поэтому допускаются только пропорциональные преобразования , этой шкалы и значения числовой системы в шкале отношений определяется с точностью до постоянного множителя. В этих шкалах отношения численных оценок альтернатив остаются постоянными, потому что

где , - числовые соответствующие альтернатив , в какой-то числовой системе, - в другой.

Шкалы отношений являются самыми распространенными среди количественных шкал в науке и практике. У них есть естественное начало – ноль. Допустимыми преобразованиями шкал отношений являются подобные (которые изменяют лишь масштаб).

Шкалой разности является частный случай шкалы интервалов, когда может изменятся только начало отсчета . В шкале разностей существует естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета.

Абсолютной шкалой называется шкала, в которой значения числовой системы определяются с точностью до тождественных преобразований, то есть допустимы преобразования имеют вид . В абсолютной шкале фиксировано и начало и масштаб. Лишь в абсолютной шкале результаты измерений числа в обычном смысле слова. Для абсолютной шкалы допустимы только тождественные преобразования.

Кроме перечисленных шести основных типов шкал иногда используют и другие шкалы (гиперупорядочивания).