Правило Крамера

     Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

      Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

AX = B

(1)

описывает систему  n  линейных уравнений с  n  неизвестными.

      Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

(2)

где ;  – определитель, полученный из определителя  D  заменой   i-го столбца столбцом свободных членов матрицы  B:

(3)

Доказательство теоремы разобьем на три части:

1. Решение системы (1) существует и является единственным.

2. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).

3. Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

      Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .       Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

(4)

      Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

      Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).       Используя формулу (4), получим выражение для  i-го элемента. Для этого нужно умножить  i-ую строку матрицы

 на столбец  B.

      Учитывая, что  i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

(5)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя D_i по элементам  i-го столбца и, следовательно,

(6)

      Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

(7)

влекут за собой матричное уравнение (1).

      Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу  i:

(8)

      Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

(9)

      Согласно Лемме 1 теоремы об обратной матрице,

(10)

где  – дельта-символ Кронекера.

      Учитывая, что дельта-символ  снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

(11)

Пример.

Решить методом Крамера систему линейных уравнений:

Решение.  Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.

Таким образом,

Ранее эта задача была решена методом Гаусса ( Пример 1).