Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений имеет вид
|
|
(1) |
|
,
где A – матрица коэффициентов; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных.
Очевидно, что любая
однородная система имеет нулевое
решение 
,
которое называется тривиальным
решением.
Теорема. Если
и
являются
решениями однородной системы (1), то и
их линейная комбинация
является решением этой системы.
Доказательство. По условию теоремы AХ1=0 и AХ2=0 .
Тогда для любых чисел С1 и С2 : С1AХ1=0 AС1Х1=0 и С2AХ2=0 AС2Х2=0. Складывая эти выражения, получаем A(С1Х1 +С2Х2)=AС1Х1 +AС2Х2=С1AХ1+ С2AХ2=0. Следовательно, линейная комбинация С1Х1 +С2Х2 решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.
Примеры:
1. Решить систему уравнений
методом Гаусса. Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:
Ранг
матрицы равен 3, тогда как число
неизвестных равно 4. Поэтому одну из
неизвестных, например,
Из
последнего уравнения следует, что
Таким образом, общее решение системы найдено:
Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем
Проверка: Подставим неизвестные
в уравнения системы:
Уравнения обратились в тождества. |
следует
рассматривать как свободный параметр.
Далее нужно присвоить этому
параметру произвольное значение
и
выразить базисные неизвестные
,
и
через
c.
Преобразованная
матрица соответствует следующей
системе уравнений:
.
Выразим остальные базисные
переменные:
***
2. Пусть
Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:
Поскольку
решение которой имеет вид
Запишем общее решение
и представим его в виде линейной комбинации частных решений:
Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа
то
говорят, что частные решения
В рассматриваемом
случае фундаментальную систему решений
образуют частные решения |
.
,
а число неизвестных равно 4, то две
неизвестные должны рассматриваться
как базисные, а оставшиеся переменные
как свободные параметры. Полагая
и
,
получаем уклрлченную систему уравнений
,
.
образуют
фундаментальную
систему решений.
и
.
***
3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид
Очевидно, что
и поэтому частные решения
образуют фундаментальную систему решений. |
***
4. Дана матрица
Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду:
Соответствующая система
имеет только тривиальное
решение |
.
Решить однородную систему линейных
уравнений AX = 0.
.