Основные понятия систем линейных уравнений

Рассмотрим систему  m  линейных уравнений с  n  неизвестными:

                     (1)

      Здесь a_ij – числовые коэффициенты;  b_i (i=1,2,...,m) – свободные члены;  x_j (j=1,2,...,n) – неизвестные.

      Решением системы (1) является совокупность значений  неизвестных  x_j , при подстановке которых все уравнения системы (1) обращаются в тождества.

      Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.

     Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения

AX = B,

где  A  – матрица, составленная из коэффициентов a_ij при неизвестных; матрица  B  представляет собой столбец свободных членов b_i (i=1,2,...,m); элементами матрицы  X  являются неизвестные x_j (j=1,2,...,n).

      Если B = 0, то система уравнений называется однородной:

AX = 0.

      Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными.       Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.

Система, имеющая решения, называется совместной, не имеющая - не совместной. Если решение одно - система определённая, если не одно - неопределённая.

Метод Гаусса

     Системе  m  линейных уравнений

(1)

можно поставить в соответствие расширенную матрицу:

.

(2)

      Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.       Действительно,

• Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.

• Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.

• Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.

      Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

,

(3)

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.       Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.        Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных (n-r) рассматривается в качестве свободных параметров и называются свободными переменными. Остальные r переменных выражаются через свободные и называются опорными, базовыми, определёнными, зависимыми.

      Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

1. Предположим, что матричный элемент  a₁₁  первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.) Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на (-a₁₁/a₁₂), к третьей строке - первую, умноженную на (-a₁₁/a₁₃) и так далее. В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент  a₁₁ .

2. Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы. Предположим, что матричный элемент  a₂₂  второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.) Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на (-a₂₂/a₂₃), к третьей строке - первую, умноженную на (-a₂₂/a₂₄) и так далее. В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент  a₂₂ .

3. И так далее.

4. В конечном итоге мы получаем матhицу вида (3).

Примеры:

1.  Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение.  Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками: Полученная матрица описывает систему уравнений эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно: Убедимся в том, что полученный набор  обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

***

2.  Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение.  Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные  операции над строками: Третья строка этой матрицы соответствует уравнению не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.

***

3.  Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение.  Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме: Выпишем соответствующую систему уравнений: Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение  и выразим остальные переменные через  c: Таким образом, общее решение системы имеет вид Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: . Подставляя  c = 2, получаем другое частное решение:  . Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. Проверка:  Подставим                и        в каждое уравнение системы: Уравнения обратились в тождества.