Линейная алгебра Системы уравнений Ранг матрицы

     Говорят, что ранг rankA матрицы A размера  m×n  равен  r, если существует хотя бы одна несингулярная подматрица  r-го порядка, тогда как любая подматрица более высокого порядка является сингулярной.

      Если это определение озвучить в терминах определителей, то оно будет выглядеть примерно так:

      Матрица  A  размера  m×n  имеет ранг  r, если существует хотя бы один отличный от нуля определитель  r-го порядка, тогда как определитель любой подматрицы более высокого порядка равен нулю.

          Очевидно, что rankA< min{m,n}.

      Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый метод, который применяется для вычисления определителей. Будет уместным напомнить основные операции метода:

1. Перестановка строк или столбцов.

2. Умножение строки или столбца на ненулевое число.

3. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

4. Нулевая строка или столбец вычеркивается.

     Целью элементарных преобразований является приведение матрицы к ступенчатой форме, т.е. к квазитреугольному виду - типа того, что представлено ниже:

.

(1)

      Очевидно, что определитель третьего порядка, составленный из элементов первых трех строк и столбцов, отличен от нуля, и ранг матрицы равен 3:

      Отметим, что любая матрица может быть представлена посредством эквивалентных преобразований (в смысле неизменности ее ранга) к блочному виду

(2)

где E - единичная матрица.

      Например, для преобразования матрицы (1) к такому виду достаточно прибавить ко второму, третьему и пятому столбцам первый столбец с соответствующим образом подобранными коээффициентами, что приведет нас к матрице

      Фактически, результаты этих преобразований чрезвычайно просты: во всех позициях первой строки - кроме первой - элементы превратились в нулевые.

      Прибавляя затем второй столбец к третьему, четвертому и пятому - с соответствующим образом подобранными коээффициентами, получим

     

      Далее поделим каждую строку на соответствующий коэффициент и удалим нулевые столбцы:

.

(3)

      Рассматриваемая матрица приведена к вышеуказанному виду.

Пример.

Найти ранг матрицы

Решение.  Непосредственным вычислением проверяется, что  det A = 0. Следовательно,  rank A < 4. Однако существует минор третьего порядка, отличный от нуля. Таким минором является, например, определитель, составленный из элементов первой, второй, третьей строк и второго, третьего, четвертого столбцов. Следовательно,  rank A = 3.

Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг

  Рассмотрим следующие элементарные преобразования матриц:

1. Перестановка строк или столбцов.

2. Умножение строки или столбца на ненулевое число.

3. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

     Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым.

1. Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя.

2. При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число.

3. Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец).

     Таким образом, в результате элементарных преобразований сингулярные матрицы остаются сингулярными, а  несингулярные – несингулярными.

Примеры:

1.  Найти ранг матрицы Решение.  Вычтем из третьей строки первую и четвертую строки: Если теперь прибавить третью строку, умноженную на (–2), (–3) и 2, соответственно, к другим строкам, то в четвертом столбце возникает максимально возможное число нулей: Далее из четвертой строки вычтем первую строку и затем к полученной строке прибавим вторую: Опускаем нулевую строку и на этом завершаем преобразования, поскольку стало очевидным, что существует подматрица третьего порядка, определитель которой отличен от нуля, и при этом не существует отличных от нуля определителей более высокого порядка: Таким образом, ранг матрицы  A  равен 3.

***

2.  Найти ранг матрицы Решение.  Для получения максимально возможного числа нулей в первом столбце этой матрицы, прибавим вторую строку к первой, третьей и четвертой строкам, предварительно умножив ее на (–2), (–4) и (–7) соответственно: Затем вычтем из третьей строки первую строку, а из четвертой - удвоенную первую: Очевидно, что ранг этой матрицы равен 2, поскольку стало очевидным, что существует отличный от нуля минор второго порядка и при этом не существует отличных от нуля миноров более высокого порядка. Однако мы выполним дальнейшие преобразования полученной матрицы, имея намерение продемонстрировать некоторые полезные приемы. Если теперь прибавить первый столбец ко второму, третьему, четвертому и пятому - с соответствующим образом подобранными коэффициентами, то во второй строке этих столбцов возникают нулевые элементы: Таким образом, при наличии столбца с единственным ненулевым элементом в некоторой строке, все остальные элементы этой строки можно заменить нулями. Далее разделим второй столбец на (–11) и затем прибавим его с соответствующими коэффициентами к третьему и пятому столбцам: В завершение переставим местами первую и вторую строки и запишем полученную матрицу в блочном виде: Очевидно, что ранг матрицы равен порядку единичной матрицы  E.

***

3.  Найти ранг матрицы Решение.  Для получения максимально возможного числа нулей в первом столбце этой матрицы, прибавим вторую строку к первой, третьей и четвертой строкам соответственно с коэффициентами (–2), (–4) и (–3): Используя первый столбец, получим нули во всех других столбцах в позиции второй строки: Прибавим последнюю строку к первой и третьей - коэффициентами 3 и (–5) соответственно: Используя второй столбец, заменим нулями все элементы четвертой строки (кроме второго!): Обратим в нуль элемент  a35 , прибавляя к третье строке первую строку с коэффициентом 6: Разделим последний столбец на 4 и с его помощью получим максимально возможное число нулей в первой строке: Последующие преобразования вполне очевидны: ,            ,            . Ранг матрицы A равен 4.