Ранг матрицы
Рассмотрим
матрицу А
размерности
.
Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы А.
Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r(A).
Свойства ранга матрицы:
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Литература: К,А, Хасеинов Каноны математики. Стр.5-14, 17-34
Лекция 2.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы m линейных уравнений с n неизвестными
Коэффициенты
и свободные члены
считаются заданными. В матричной форме
система имеет вид
,
где А
– матрица коэффициентов системы, B-
вектор-столбец свободных членов, X-
вектор-столбец неизвестных. Расширенной
матрицей
называется
матрица
.
Понятия совместности и определенности системы рассмотреть самостоятельно.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матриц равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственной решение.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система имеет решений.
Формулы Крамера
Дана система трех уравнений с тремя неизвестными
(1)
Основную роль играют следующие четыре определителя:
,
,
,
.
Определитель D называется определителем системы (1). Определители Dx, Dy, Dz получаются из определителя D заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Возможны следующие случаи.
Случай 1 (D¹0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.
Случай 2 (D=0). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система
не имеет решения, а система
имеет бесконечное число решений.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и метод Гаусса рассмотреть самостоятельно.
Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
.
Однородная
система всегда совместна (
),
она имеет нулевое (тривиальное)
решение
.
Теорема 1.
Для того, чтобы система однородных
уравнений имела ненулевые решения,
необходимо и достаточно, чтобы ранг ее
основной матрицы был меньше числа
неизвестных, т.е.
.
Теорема 2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
Литература: К,А, Хасеинов Каноны математики. Стр.14-20, 34-38
Практическое занятие 1.
Вычислить определители.
1.
. Отв. A) 24; B) 19; C) 21;
D) 29; E) 47.
2.
.
Отв. A)
;
B)
;
C) 0; D) tgx;
E) ctgx.
3.
.
Отв. A) 9; B) -7; C) 10; D) 11;
E) -10.
4.
.
Отв. A) 780; B) 890; C) 910; D)
1010; E) 1200.
5.
.
Отв. A)
;
B)
;
C)
;
D)
;
E)
.
6.
.
Отв. A) 9; B) -7; C) 10 D) 11; E)
-10.
7. Решить уравнение
=
6.
Отв. A)
(2;3); B) (1;
);
C) (3;5); D)
(0;4); E) (7;-10).
8. Решить уравнение.
Отв. А) 2. B) –3. C)
5. D) 4. E) –1.
9. Решить неравенство..
<
0.
Отв. A) x >1. B) x <2. C) x >-10. D) x 5. E) x >3.
10. Решить неравенство
Отв. A) –6<x<-4. B) 4<x<6. C) x >-6. D) x <-4. E) 0<x<-4.
11. Найти алгебраическое
дополнение
определителя
Отв. А) –12. B) 12. C) 16. D) 8. E) -8.
12. Найти алгебраическое
дополнение
определителя
Отв. А) –2. B) 7. C) 6. D) -8. E) 8.
13. Вычислить определитель
четвертого порядка
Отв. А) 10. B) 40. C) -20. D) 30. E) 6.
14. Вычислить определитель
четвертого порядка
Отв. А) 5. B) 10. C) 0. D) 3. E) 13.
15. Решить систему
линейных уравнений
Отв. A) (2;5). B) (-2;3). C) (2;7). D) (1;-3). E) (1;5).
16. При каком значении
k система линейных уравнений
не имеет решения.
Отв. A) 3. B) –3. C) 2. D) –2. E) 1.
17. При каких значениях
a и b
система линейных уравнений
имеет бесконечное множество решений.
Отв. A) a=1; b= 3. B) a=–2; b=2. C) a=2; b=-2. D) a= –2; b=1. E) a=1; b=4.
18. Решить систему
линейных уравнений
Отв. A) (0;2). B) (-3;1). C) (9;-4). D) (12;-3). E) (-9;5).
19. Решить систему
линейных уравнений
.
Отв. A) (2;5;-3). B) (-2;-3;0). C) (2;7;-6). D) (5;-2;3). E) (4;-1;3).
20. Решить систему
линейных уравнений
Отв. A) (2;-2;-1). B) (-2;-1;1). C) (2;4;-6). D) (1;-2;-2). E) (1;1;-1).
21. Решить систему
линейных уравнений
Отв. A) (1;1;-1). B) (-1;-1;-1). C) (-2;4;0). D) (3;-1;-2). E) (1;-1;-1).
22. Решить систему
линейных уравнений
Отв. A) (1;-4;1). B) (-2;-1;1). C) (2;4;-5). D) (-1;-2;-2). E) не имеет решения.
23. Решить систему
линейных уравнений
Отв. A) (3;-2;1). B) (-2;-1;1). C) (4;0,5;1). D) (1;-2;-2). E) имеет бесконечное множество решений.
24.
Даны матрицы
Найти 2А-3В.
Отв.
25.
Даны матрицы
,
.Найти
А
– 3В.
Отв.
26.
Найти АВ,
если
Отв.
27.
Найти АВ,
если
Отв.
28.
Найти АВ,
если
Отв.
29.
Найти АВ, если
Отв.
30.
Найти обратную матрицу
для матрицы
Отв.
31.
Найти обратную матрицу
для матрицы
Отв.
32
. Найти обратную матрицу
для матрицы
Отв.
Литература: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Сборник задач по высшей математике. Академия ГА Алматы 2010. Стр 3-11