Метод интегрирования по частям

Формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле называется формула

где u=u(x) и v=v(x) дифференцируемые функции от х. Она позволяет свести нахождение интеграла к нахождению интеграла

Большую часть интегралов, при нахождении которых применяется формула интегрирования по частям, можно разбить на три группы.

1. Интегралы вида

где Р(х) многочлен некоторой степени n. За функцию u(x) следует взять одну из функций , тогда .

2. Интегралы вида

,

где Р(х) многочлен, а k – некоторое число. Для их нахождения следует положить u=P(x), а соответственно.

3. Интегралы вида

где a и b – некоторые числа. Эти интегралы находятся с помощью двукратного интегрирования по частям.

Пример. Найти интеграл Решение. Применим формулу интегрирования по частям. За функцию u(x) возьмем , тогда . Будем иметь

Пример. Найти интеграл

Решение.

Полученный интеграл снова находим интегрированием по частям.

Подставляя значение полученного интеграла в предыдущее выражение, будем иметь

Перенося искомый интеграл из правой части равенства в левую, получаем

Окончательно имеем

.

Упражнения

1. . 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. . 14. .

15. 16.

17. . 18.

19. 20.

НЕДЕЛЯ 10

Лекция 19-20

Интегрирование рациональных функций.

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, то есть функции, которые можно представить в виде дроби

где P(x), Q(x) – многочлены.

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим

где W(x) – некоторый многочлен, а R(x) – многочлен степени ниже, чем Q(x).

Пример.

Многочлен W(x) представляет собой линейную комбинацию целых неотрицательных степеней x и поэтому может быть проинтегрирован. Теперь рассмотрим вопрос интегрирования правильной дроби из последнего соотношения.

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида и а дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом

Интегралы данных дробей приводятся к интегралам следующего вида

Интеграл вычисляется по рекуррентной формуле

Таким образом, можно сделать вывод о том, что всякая рациональная функция может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Предварительно введем понятие рациональной функции от двух переменных u и v, то есть функции получающейся из этих переменных и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления R(u, v). Такова, например, функция

Если переменные u и v, в свою очередь являются функциями переменной x: то функция называется рациональной функцией от и

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций сводящихся к интегралам от рациональных функций.

1. Интегралы вида где a, b, c, d – некоторые числа m – натуральное число. Интегралы данного вида рационализируются подстановкой

2. Интеграл вида где a, b, c – некоторые числа Данный интеграл зависит от корней квадратного трехчлена Если этот трехчлен имеет два различных действительных корня x₁ и x₂, то он сводится к интегралу вида 1, а именно к интегралу

Если x₁=x₂, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, а именно к интегралу

Если же квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, то с помощью подстановки Эйлера

данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции

3. Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

4. Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

Практическое занятие 10