Лабораторная работа №5 Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.

Задание: С помощью Exсel решить задачу согласно варианту.

Задачи

1. Определите решение, определяемое седловой точкой, соответствующие чис­тые стратегии и цену игры для следующих игр, в которых платежи заданы для игрока А.

2. Робин часто ездит между двумя городами. При этом есть возможность вы­брать один из двух маршрутов: маршрут А представляет собой скоростное шоссе в четыре полосы, маршрут В — длинную обдуваемую ветром дорогу. Патрулирование дорог осуществляется ограниченным числом полицейских. Если все полицейские расположены на одном маршруте, Робин с ее страст­ным желанием ездить очень быстро, несомненно, получит штраф в 100 долл. за превышение скорости. Если полицейские патрулируют на двух маршру­тах в соотношении 50 на 50, то имеется 50 %-ная вероятность, что Робин по­лучит штраф в 100 долл. на маршруте А и 30 %-ная вероятность, что она по­лучит такой же штраф на маршруте В. Кроме того, маршрут В длиннее, поэтому бензина расходуется на 15 долл. больше, чем на маршруте А. Опре­делите стратегию как для Робин, так и для полиции.

3. Решите графически следующие игры, в которых платежи выплачиваются игроку А.

4. В следующих играх заданы платежи игроку А. Укажите область значений для параметров pи q, при которых пара (2, 2) будет седловой точкой в каждой игре.

5. Укажите область, которой принадлежит цена игры в каждом из следующих случаев, предполагая, что платежи заданы для игрока А.

6. Две фирмы производят два конкурирующих товара. Каждый товар в на­стоящее время контролирует 50 % рынка. Улучшив качество товаров, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. Если они не будут этого делать, то существующее состояние рынка не изменится. Однако если какая- либо фирма будет более активно рекламировать свои товары, то другая фир­ма потеряет соответствующий процент своих потребителей. Исследование рынка показывает, что 50 % потенциальных потребителей получают инфор­мацию посредством телевидения, 30 % — через газеты и 20 % — по радио.

А) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и выберите подходящие средства рекламы для каждой фирмы.

Б) Укажите интервал значений, которому принадлежит цена игры. Может ли каждая фирма действовать с единственной чистой стратегией?

7. Дана следующая игра двух лиц с нулевой суммой.

А) Проверьте, что смешанные стратегии с вероятностями (1/6, 0, 5/6) для игрока А и с вероятностями (49/54, 5/54, 0) для игрока В являются опти­мальными, и определите цену игры.

Б) Покажите, что цена игры равна

8. На загородном пикнике две команды, по два человека в каждой, играют в прятки. Есть четыре места, где можно спрятаться (А, Б, В и Г), и два члена прячущейся команды могут спрятаться каждый отдельно в любых двух из че­тырех мест. Затем другая команда имеет возможность проверить любые два места. Команда, которая ищет, получает премию, если будут обнаружены оба участника прячущейся команды, если же не обнаружен ни один участник, то она выплачивает премию. Иначе игра заканчивается вничью.

А) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой.

Б) Определите оптимальные стратегии и цену игры.

9. Пусть a_ij— (i, j)-й элемент платежной матрицы с mстратегиями игрока А и n стратегиями игрока В. Элементы платежной матрицы представляют собой платежи игроку А. Докажите, что