Глава 3. Прямой изгиб

3.1. Внутренние усилия в балке

Рассмотрим брус в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано на его левом конце, а ось Оz совпадает с осью бруса, проходящей через центры тяжести его поперечных сечений. Загрузим брус моментами и силами, лежащими в плоскости его симметрии Oyz, причем все силы P_i будем считать перпендикулярными к его оси Oz (рис.3.1а). Изгиб при указанных предпосылках называется прямым.

В дальнейшем под балкой будем понимать брус в условиях прямого изгиба.

Рассмотрим поперечный изгиб такой балки. Для внутренних усилий в ее сечении (рис.3.1б) можно дать простое и удобное на практике определение, которое в отличие от приведенного в параграфе 1.6, не связано с системой координат.

Поперечная сила Q_у=Q в сечении балки равна сумме проекций на нормаль к ее оси всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит балку на две части.

Изгибающий момент М_х=М в сечении балки равен сумме моментов всех сил, взятых по одну сторону от сечения и вычисленных относительно точки, где сечение пересекает ось балки.

Правило знаков – в соответствии с рис.3.1в, где показаны положительные значения Q и M для частей балки, расположенных по обе стороны от проверенного сечения.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Отметим, что Q > 0 соответствует вращению отсеченной части балки по ходу часовой стрелки.

2. Очевидно, что вычисление Q и M в сечении заданной двухопорной балки на расстоянии z от ее левого конца (рис.3.1б) не отличается от определения опорных реакций в консольной балке соответствующей длины. При этом последняя балка защемлена на правом конце и загружена всеми силами, взятыми слева от рассматриваемого сечения заданной балки. Аналогичное замечание справедливо для части балки справа от сечения (рис.3.1в).

3. В сечении, проведенном на расстоянии z от левого конца балки, Q = Q(z) и М = =М(z), причем абсциссы z и связаны зависимостью: .

3.2. Теорема Журавского

Рассмотрим участок балки длиной dz, заключенный между сечениями с абсциссами z и z + dz и загруженный распределенной нагрузкой с интенсивностью q(z). Слева на него действуют внутренние усилия Q(z)=Q и М(z)=M, справа – Q(z+dz)=Q+dQ и М(z+dz)=M+dM (рис.3.2).

Составим уравнения равновесия выделенного элемента, считая, что в его пределах распределенная нагрузка постоянна: q(z) = q.

Первое из уравнений:

;

приводит к соотношению:

q = dQ/dz

(3.1)

Из второго уравнения равновесия:

; ,

пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим еще одну зависимость:

Q = dМ/dz

(3.2)

Таким образом, функции и связаны соотношениями (3.1) и (3.2), которые и составляют суть теоремы и называются дифференциальными зависимостями Журавского.

ПРИМЕЧАНИЕ. Для эти зависимости примут вид: и соответственно.

3.3. Построение эпюр q и m

Под эпюрой в СМ понимают график изучаемой величины, ординаты которого откладывают в направлении нормали к оси эпюры.

Последняя может совпадать с осью стержня, быть параллельной ей, либо представлять собой иную линию, полученную пересечением связанных с конструкцией поверхностей и плоскостей. При этом у арки или криволинейного стержня ось эпюры также может быть криволинейной – в отличие от оси Ох при построении обычных графиков функций.

Эпюры Q и М позволяют наглядно представить наиболее напряженные участки балки. Рассмотрим, например, эти эпюры для простой двухопорной балки (рис.3.3). Нетрудно догадаться, что опасным будет сечение в середине балки, где М(z) принимает максимальное значение.

При построении эпюр Q и М целесообразно придерживаться определенной последовательности.

Порядок построения эпюр Q и М

1. Определяем опорные реакции.

2. Делим балку на участки, границами которых являются:

• начало и конец балки,

• точки приложения сосредоточенных сил Р_i и моментов M_i,

• границы участков распределенной нагрузки.

3. В пределах каждого участка балки проводим сечение на расстоянии z_i от левого, или – от правого конца. Вычисляем Q и М как функции z_i или , рассматривая условия равновесия соответствующей части балки слева или справа от сечения.

4. Строим эпюру Q, откладывая положительные значения вверх от оси эпюры, т.е. в направлении оси Оу и – эпюру М, откладывая положительные значения вниз от оси эпюры, т.е. на нижних волокнах балки.

5. Контроль правильности решения.

Остановимся подробнее на этом последнем и самом важном этапе решения.

Проверка правильности построения эпюр

Из формул (3.1) и (3.2) следует:

1. На незагруженных участках балки (q = 0) эпюра Q – постоянна, а М – линейна.

2. На участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой (q = = const), – а мы будем рассматривать только такую, – эпюра Q представляет собой прямую линию, а М – параболу, обращенную выпуклостью в сторону действия нагрузки (правило «парусности эпюры»).

3. В точках приложения сосредоточенных сил Р_i эпюра Q имеет скачок на величину приложенной силы, а эпюра М – точку излома в сторону действия силы.

В точках приложения сосредоточенных моментов М_i эпюра М имеет скачок на величину приложенного момента. (На эпюре Q это никак не отражается).

В частности, на концах балки значения Q и М будут равны соответственно – сосредоточенным силам и моментам, приложенным там (активным или реактивным).

4. На участке, где эпюра М нисходящая (возрастает), – Q > 0, если эпюра М – восходящая, – Q <0.

5. Изгибающий момент может достигать максимального по модулю значения:

• на границах участков;

• в точках, где Q = 0;

• в точках приложения сосредоточенных сил, где эпюра Q имеет скачок со сменой знака.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Для вычисления Q и М в каком-либо сечении балки удобнее рассматривать равновесие той части балки, к которой приложено меньше сил. Например, при построении эпюр, приведенных на рис.3.3, на первом участке ( ) из условия равновесия левой части (рис.3.1б, в) получим:

; ;

- R_Az + M(z) = 0; M(z) = Pz/2.

Тот же результат можно получить, рассматривая на этом участке равновесие части балки, которая расположена справа от сечения:

; ;

; .

2. На границе участков функции Q(z) и М(z) могут иметь точки разрыва. Например, в рассмотренном примере (рис.3.3), значения Q(z) слева и справа от сечения z = l/2 соответственно равны: и . Вопрос о том, чему равняется эта функция непосредственно в точке z = l/2, не имеет практического значения. Поэтому в качестве характерных точек, где вычисляются необходимые для построения эпюр значения функции, на каждом участке можно брать его границы, добавляя к ним – в случае распределенной нагрузки – точку в середине участка или точку, где Q = 0.

3. При построении эпюр в консольных балках можно не определять опорные реакции, если рассматривать равновесие части балки, не содержащей опору.

4. При рассмотренном правиле построения эпюры М она будет расположена на растянутых волокнах балки.