2.2. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

Вернемся к рассмотрению стержня из предыдущего параграфа и, следуя Р.Гуку, зададимся вопросом: как связаны удлинение стержня – Dl, его длина – l, площадь поперечного сечения – F и величина приложенной нагрузки – Р ?

Экспериментально была установлена зависимость:

Dl = Pl/ (ЕF), (2.5)

или, с учетом (2.1) и (2.2), другая ее форма:

s = Е e (2.6)

которая известна как закон Гука при ЦРС.

Входящий в эти формулы множитель Е называется модулем упругости или модулем Юнга. Поскольку относительная деформация в (2.6) – безразмерная величина, размерности и E совпадают. Приведем значения E для некоторых материалов, применяемых в строительстве:

сталь – 200 ГПа,

бетон – 20 ГПа,

дерево вдоль волокон – 10 ГПа.

Чтобы выяснить смысл модуля упругости, отметим, что = E при e = 1. Таким образом, модуль упругости численно равен напряжению, при котором стержень удваивает свою первоначальную длину. В действительности ни один из материалов, за исключением резины, не выдержит такого напряжения.

Для металлов e имеет максимальные значения порядка 0,0001¸ 0,001, и их разрушение наступает при напряжении s, примерно в тысячу раз меньше значения Е.

Как известно, удлинение стержня при ЦРС сопровождается изменением его поперечных размеров. Пусть b – начальная ширина стержня, а b+D b – его поперечный размер при деформации.

Поперечной деформацией называется отношение

b/b.

Правило знаков: при растяжении Db < 0, ; при сжатии стержня Db > 0, .

Коэффициентом Пуассона называется отношение поперечной деформации стержня к его продольной деформации:

.

Приведем значения для некоторых материалов:

сталь – 0,3;

бетон – 0,17;

дерево вдоль волокон – 0,5.

Теоретические и экспериментально доказано, что .

Итак, упругие свойства материалов определяются двумя физическими константами – Е и .

2.3. Механические испытания материалов

Для определения постоянных Е, и других характеристик материалов, необходимых для расчета, проводят механические испытания их стандартных образцов с заданной длиной l и площадью поперечного сечения F. В ходе такого испытания находят зависимость изменения длины образца Dl от величины действующей силы N, а фактически – строят график как функции . С учетом особенностей этих диаграмм все материалы делятся на два класса:

1. пластичные (сталь, алюминий);

2. хрупкие (стекло, чугун).

Р ассмотрим диаграмму растяжения стального образца, на которой отмечены характерные точки и соответствующие им напряжения (рис.2.2а).

Пределом пропорциональности (s_пц) называется максимальное напряжения, соответствующее точке А диаграммы, при котором сохраняется линейный характер зависимости в соответствии с законом Гука. Сравнивая уравнение прямой ОА: с (2.6), получим, что Е .

Пределом текучести ( ) называется напряжение, при котором деформирование образца происходит без увеличения нагрузки, что вызвано перестройкой структуры стали. Горизонтальный участок диаграммы в окрестности точки В называется площадкой текучести.

Предел прочности (s_пч) – максимальное напряжение, которое выдерживает образец до разрушения.

Проследим теперь за образцом при уменьшении приложенной к нему нагрузки.

Если в процессе его загрузки напряжение не превысило s_пц, то разгрузка происходит по той же прямой ОА, по которой происходило нагружение, и после снятия приложенной нагрузки тело полностью восстановит свои размеры и форму.

Разгрузка из точки D, принадлежащей участку АС, происходит по прямой О₁D, параллельной ОА.

Таким образом, полная деформация стержня в точке D – ОО₂ складывается из упругой – О₁О₂ и пластической или остаточной ОО₁.

Поведение хрупких материалов при растяжении характеризуется разрушением в упругой стадии при незначительных деформациях. На диаграмме растяжения таких материалов есть только одна характерная точка, соответствующая s_пч (рис.2.2б).

Свойства хрупких материалов, в отличие от пластичных, при растяжении и сжатии различны, поэтому для них строят обе диаграммы. Такие материалы как бетон или кирпич испытывают только на сжатие, т.к. они практически не работают на растяжение.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Мы рассмотрели процесс испытания образца и определение свойств материала в самом первом приближении. В действительности характер диаграммы зависит от многих факторов, в том числе – скорости деформирования и температуры проведения испытаний, поэтому для ряда материалов правильнее говорить не об их принадлежности к тому или иному классу, а о проявлении у них соответствующих свойств в определенных условиях.

2. Приведенная диаграмма (рис.2.2а) носит условный характер, т.к. не учитывает изменение первоначальной длины стержня l и площади его поперечного сечения F в ходе испытания и, особенно, на его завершающей стадии.

3. В рамках этого курса не рассматривается механизм разрушения деформируемого тела.