Глава 2. Центральное растяжение и сжатие

2.1. Напряжения и деформации

Напряжения. Пусть стержень с площадью поперечного сечения F растягивается двумя равными по модулю силами Р.

Проведем сечение и рассмотрим часть стержня слева от сечения (рис. 1.11а). Действие отброшенной правой части заменим нормальными напряжениями s_z, эквивалентными продольной силе N_z = Р.

Предполагая, что нормальные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения F, получим:

N_z = s_z dF = s_z×F,

откуда искомое выражение для напряжений при ЦРС примет вид:

s_z = N_z /F (2.1)

Правило знаков. При растяжении стержня: s_z > 0, N_z > 0; при его сжатии –s_z < 0, N_z < 0.

Деформации. Обозначим через l длину стержня до деформации, и пусть под действием приложенной нагрузки его длина стала равной l+Dl, где Dl - абсолютное удлинение стержня.

Относительным удлинением или продольной деформацией стержня при ЦРС называется величина

e = Dl/l . (2.2)

Правило знаков. При растяжении: Dl > 0, e > 0; при сжатии: Dl < 0, e < 0.

В общем случае продольная сила N_z непостоянна по длине стержня. Например, – при его растяжении или сжатии под действием собственного веса. При этом будут неравномерны удлинения отдельных участков стержня и применение формулы (2.2) теряет смысл.

Для вывода формулы, являющейся обобщением (2.2) на случай переменной продольной силы и неравномерных деформаций, введем понятие перемещения точки деформируемого тела.

Пусть точка A(x, y, z) упругого тела в результате силовых или каких-либо иных воздействий перемещается и занимает в пространстве положение А'.

Вектор AA' (u, v, w) называется перемещением точки А деформируемого тела.

В общем случае каждая компонента вектора перемещения является функцией координат – x, y, z.

Рассмотрим брус длиной l в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано на его левом, жестко защемленном конце, плоскость Oyz является плоскостью симметрии, а ось Оz проходит через центр тяжести сечений.

При этих предпосылках положение точки А, лежащей на оси бруса, однозначно определяется заданием только одной координаты – z (рис. 2.1а).

Под действием сил, приложенных вдоль оси Оz, и вызывающих центральное растяжение стержня, точка А получит перемещение AA'. Очевидно, что величина перемещения определяется удалением точки А от начала координат: w(0) = 0, w(z) = AA¢, w(l) = Dl (рис.2.1б).

Проведем два сечения на расстояниях z и z+Dz от левого конца и рассмотрим поведение заключенного между ними участка стержня в ходе его загружения. Если положить w(z+Dz) = w(z) + Dw, то станет очевидным, что перемещение этого отрезка стержня как твердого тела на величину w(z) сопровождается его удлинением на величину Dw (рис. 2.1в). Предполагая, что продольная сила остается постоянной на участке Dz, воспользуемся формулой (2.2) для определения его относительного удлинения. Подставляя в (2.2) Dl = Dw, а l = Dz и переходя к пределу, получим выражение продольной деформации в сечении z:

e_z = . (2.3)

Таким образом, зная w(z) можно найти деформацию e_z(z), и наоборот – по известной деформации e_z из (2.3) можно найти перемещение w:

e_zdz,

или

w (z) = w₀ + e_zdz. (2.4)