1.6. Внутренние усилия в брусе. Виды ндс

Применим рассмотренный в предыдущем параграфе метод сечений к частному случаю тела  брусу, загруженному уравновешенной системой сил (рис. 1.10а). Проведем сечение и рассмотрим равновесие части стержня слева от сечения под действием сил Р₁, Р₂ и реакций отброшенной правой части или

н апряжений. Приведем последние к центру, выбрав в качестве него точку C  центр тяжести сечения.

Введем систему координат с началом в центре C и обозначим через R_c и M_c главный вектор и главный момент реакций отброшенной правой части (рис. 1.10б).

Определение. Внутренними усилиями в стержне называются проекции векторов R_c и M_c на оси координат системы Cxyz, взятые с определенным знаком.

Условие равновесия отсеченной части:

(Р₁, Р₂, R_с, M_c)  0

эквивалентно уравнениям равновесия:

         _x   _y   _z  

откуда и можно найти внутренние усилия.

Для части стержня слева от сечения:

Q_x = - R_cx = _i ; M_x = _x _i  

Q_y = - R_cy = _i  _y = _y _i   (1.1)

N_z = R_cz = - _i  M_z = - _z_i. 

Компоненты этих усилий называются так:

Q_x, Q_y  поперечные силы;

N_z  продольная или нормальная сила;

M_x, M_y  изгибающие моменты;

M_z  крутящий момент.

Внутренние усилия можно выразить не только через внешние силы и их проекции – по формуле (1.1), но и через компоненты вектора напряжения в поперечном сечении бруса с площадью F:

Q_x = t_zx dF ; M_x = - s_z× ydF;

Q_y = t_zy dF ; M_y = - s_z× xdF;

N_z = s_z dF ; M_z = (t_zx y - t_zy x) dF.

(1.2)

Отметим, что формулы (1.2) справедливы для любой части бруса – как слева, так и справа от сечения. В отличие от этих формул, в (1.1) при переходе к рассмотрению правой части стержня нужно сменить все знаки на противоположные.

В зависимости от значений внутренних усилий различают несколько видов напряженно-деформированных состояний (НДС), некоторые из которых мы рассмотрим.

1. Центральным растяжением и сжатием (ЦРС) называется НДС, при котором N_z  0, а все остальные внутренние усилия равны нулю. ЦРС возникает в брусе, растягиваемом (сжимаемом) силами, приложенными к его торцам (рис. 1.11а).

2. Чистый изгиб соответствует НДС, при котором обращаются в нуль все компоненты внутренних усилий за исключением M_x (или M_y). Появляется в брусе при его изгибе двумя моментами, приложенными по торцам (рис. 1.11б).

3. Поперечный изгиб – это НДС, при котором Q_y  0, M_x  0, а остальные компоненты равны нулю. Возникает, например, в брусе, опертом по концам и загруженном посредине силой (рис. 1.11в).

Р ешение основной задачи СМ для этих НДС бруса и составляет основное содержание данного раздела курса.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. В соответствии с принципом Сен-Венана картина распределения напряжений при ЦРС в поперечном сечении бруса на достаточном удалении от его концов не зависит от способа приложения нагрузки. Это справедливо и для других видов НДС.

2. Внутренние усилия, несмотря на название, не являются силами, противодействующими приложенной нагрузке, – по отношению к рассматриваемой части стержня продольная сила N_z является такой же внешней силой, как и сила Р (рис1.11а).