1.5. Метод сечений. Напряжения
Для расчета на прочность нужно знать, какие силы появляются в каждой внутренней точке тела в ответ на действие внешних сил. Для их определения воспользуемся обобщением принципа освобождаемости от связей из ТМ, сделав внутренние силы внешними.
Рассмотрим тело под действием уравновешенной системы сил (рис. 1.8а). Проведем через интересующую нас точку М плоскость и рассмотрим часть тела слева от сечения с нормалью n (рис. 1.8б). Помимо внешних сил Р1 и Р2 на нее будет действовать реакция отброшенной правой части, не показанная на рисунке. Эту реакцию в виде распределенной по площади сечения поверхностной нагрузки и будем называть напряжением.
Выясним, чем отличается напряжение от обычного давления. Как известно из ТМ, реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда тело не может перемещаться из-за наложенной связи. Поэтому если бы напряжение, как и давление, было направлено по нормали n, части тела, расположенные по обе стороны от плоскости воображаемого сечения, могли бы беспрепятственно смещаться друг относительно друга вдоль этой плоскости. Наш опыт свидетельствует об обратном, поэтому можно сделать вывод, что в общем случае напряжение является вектором, который направлен под углом к нормали n в каждой точке сечения.
Разложим вектор напряжения p по правилу параллелограмма на нормальную и касательную составляющие:
p = + ,
где || n, а n.
Эти напряжения можно наглядно показать на рисунке, если рассмотреть тело в плоскости, ортогональной к проведенному сечению. Поскольку при этом
в
се
векторы
будут расположены вдоль одной прямой,
их величины в каждой точке сечения
условно откладывают в направлении
нормали n (рис. 1.8
в-д).
Последовательней и удобней заменить построение векторов и построением эпюр их проекций на эту нормаль и перпендикулярные к ней направления, как и принято в СМ.
Эти напряжения и нужно знать для расчета тела на прочность. Как их найти? Для тел простой формы из условий равновесия отсеченной части, как обычно в ТМ находят реакции опор. При этом, в соответствии с принципом отвердевания, можно воспользоваться теоремой о приведении пространственной системы сил, согласно которой произвольная система сил эквивалентна главному вектору R0 и главному моменту M0:
(Р1, Р2, …, Рn) (R0, М0).
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. В СМ нередко отождествляют понятия вектора напряжения и его проекции, говоря об «эпюре напряжений» или о «положительном направлении» этого вектора.
2. Если тремя парами параллельных плоскостей вырезать из тела куб, то напряжения, действующие по его граням и соответствующие положительным значениям их проекций, в общем случае можно обозначить так, как показано на рис. 1.9. В дальнейшем для касательных напряжений нам будет удобнее изменить эти направления на противоположные.
3. Мы предполагаем, что напряжения в сечении тела могут появляться только в ответ на действие внешних сил, и равны нулю при их отсутствии, что соответствует гипотезе ненапряженного начального состояния.