8.4. Примеры расчета

Рассмотрим примеры определения перемещений в балках с помощью уравнения (8.12). Во всех случаях жесткость балки будем считать заданной.

Пример 8.1. Определить максимальный прогиб балки (рис.8.3а).

Решение. Три из четырех начальных параметров для нашей балки известны: , поэтому уравнение (8.12) примет вид:

(а)

Последний параметр найдем из краевого условия :

,

откуда

.

Подставляя найденные значения в (а), находим максимальный по модулю прогиб в середине балки:

. 

Пример 8.2. Для заданной балки построить эпюры прогибов и углов поворота сечений (рис.8.4а).

Решение. Нагрузка внутри области, занятой балкой отсутствует, поэтому уравнение (8.12) примет вид:

.

Два начальных параметра балки известны из условий закрепления: , а два других  равны опорным реакциям: , откуда искомое уравнение:

.

Дифференцируя, получим:

. 

Пример 8.3. Найти максимальные прогибы балки (рис.8.5а).

Решение. Как и в предыдущем примере

,

где . Для определения неизвестных начальных параметров и нужно воспользоваться краевыми условиями: . Решая полученную систему уравнений:

найдем: _max .

Решение задачи можно упростить, если заданную балку заменить симметрично расположенной (рис.8.5б). Для последней балки все четыре начальных параметра известны: , и уравнение (а) примет вид:

,

откуда

_max .

Отметим, что все эпюры в заданной балке (рис.8.5а) получаются из эпюр, показанных на рис. 8.5б путем продолжения последних в область отрицательных значений как симметричных (четных)  v и M либо обратно симметричных (нечетных)  и Q. 

Пример 8.4. Определить прогиб и угол поворота сечения в середине пролета балки (рис.8.6а).

Решение. Три начальных параметра известны либо из условий закрепления ( , либо из уравнений равновесия , поэтому уравнение (8.12) имеет вид:

(а)

Подставляя (а) в краевое условие , найдем , после чего определим искомый прогиб: . Дифференцируя (а), получим: . 

Пример 8.5. Построить эпюры Q и М (рис.8.7а).

Решение. Из условий закрепления левого конца балки , поэтому

(а)

Дифференцируя дважды и умножая результат на , получим:

(б)

Подставляя (а) и (б) в краевые условия: и решая полученную систему уравнений:

найдем:

.

Теперь с помощью (б) можно построить эпюру М, а с учетом зависимости  эпюру поперечных сил. 

Отметим, что при определении начальных параметров данной статически неопределимой балки мы не обращались к уравнениям равновесия.

8.5. Расчет балок на жесткость

Расчет на жесткость производят, обычно, как проверочный расчет для обеспечения нормальных эксплуатационных свойств конструкции. Чтобы избежать появления чрезмерных перемещений, максимальный по модулю прогиб балки ограничивают допускаемым  [v], который, обычно, назначают в пределах от 1/200 до 1/600 длины пролета:

_max [v], [v] . (8.13)

При расчете консольных балок длину в формуле (8.13) полагают равной удвоенной длине консоли: .

Напомним, что прогибы балки обратно пропорциональны ее жесткости:

,

поэтому если для балки с жесткостью условие (8.13) не выполняется, прогибы новой балки с жесткостью можно найти по формуле:

. (8.14)

Пример 8.6. Проверить условие жесткости стальной и деревянной балок, рассмотренных в примере 7.1 (стр. 50), полагая E_СТ = 200 ГПа, E_ДЕР = 10 ГПа, и принимая [v] .

Решение. Нетрудно убедиться, что максимальный прогиб консольной балки, загруженной распределенной нагрузкой, будет равен _max= .

Для заданных консольных балок длиной м допускаемый прогиб составит:

[v] м.

Максимальный прогиб стальной балки при кН/м и см⁴ равен:

_max= м = 0,008 м < [v].

Отношение жесткостей стальной и деревянной балок равно _ст/ _дер) ; поэтому в силу (8.14):

v_дер = _ст/ _дер) _ст [v],

т.е. условие жесткости (8.13) также выполнено. 