8.3. Метод начальных параметров

Для того, чтобы на практике воспользоваться решением (8.6):

,

нужно, во-первых, определить постоянные интегрирования и , а во-вторых, вычислить входящий сюда интеграл. Аналогичное замечание касается и выражения (8.9).

Решение первой задачи упрощается, если выразить константы через начальные параметры , представляющие собой значения соответствующих функций в начальном сечении балки  на ее левом конце.

Подставляя в (8.5) и (8.6) получим:

(8.10)

Аналогично выражаются эти константы и в формуле (8.9).

Переходя к вычислению интеграла, входящего в (8.6), вспомним, что для построения эпюр и мы разбивали балку на отдельные участки и для каждого из них функция имела различный вид. При таком подходе на каждом участке интеграл нужно вычислять отдельно, а затем стыковать полученные кривые, решая для n участков балки систему 2n уравнений.

Гораздо продуктивнее идея, которая заключается в том, чтобы представить функцию в виде, едином для всех ее участков.

В самом общем случае нагрузку, приложенную к произвольной балке, можно представить так, как показано на рис. 8.2. Будем придерживаться следующих правил при вычислении изгибающего момента в ее сечении:

1) начало отсчета выбирается на левом конце балки, всегда рассматривается часть балки, расположенная слева от сечения;

2 ) положительные и направлены по оси , а моменты  по ходу часовой стрелки, как показано на рисунке;

3) распределенная нагрузка , приложенная на участке , заменяется той же нагрузкой, продолженной до конца балки, и соответствующей компенсирующей нагрузкой.

При этих условиях изгибающий момент в поперечном сечении любого участка балки можно представить в виде:

, (8.11)

где суммирование распространяется на нагрузку, расположенную слева от рассматриваемого сечения.

В самом деле, для участков балки на рис.8.2 функция равна:

1) (0  z  z_mi),

2) (z_mi  z  z_pi),

3) (z_pi  z  z_qi)

и так далее.

Интегрируя дважды последние выражения, на тех же участках балки для соответственно получим:

1. ,

2. ,

3. .

Таким образом, подставляя (8.11) в (8.6), интегрируя дважды и собирая вместе коэффициенты с начальными параметрами, получим,

(8.12)

Это выражение носит название универсального уравнения изогнутой оси балки.

Из четырех входящих сюда начальных параметров два всегда известны, а два других можно найти из краевых условий или уравнений статики.

ПРИМЕЧАНИЕ. Термин «универсальное» в отношении выражения (8.12) означает, что его форма не зависит от вида нагрузки и числа загруженных участков балки.

Отметим, что это уравнение справедливо для любых типов балок  как статически определимых, так и статически неопределимых.