Глава 8. Определение перемещений при изгибе
8.1. Дифференциальные зависимости при изгибе
Умение определять перемещения необходимо для расчета на жесткость статически определимых систем и является составной частью расчета на прочность систем статически неопределимых. Для обоснования соответствующей методики вернемся к рассмотрению некоторых формул, полученных ранее.
Дополняя дифференциальные зависимости Журавского из параграфа 3.2:
(3.1)´
соотношениями из параграфов 5.2 и 5.3:
,
,
получим следующую цепочку формул, расположенных в зависимости от порядка производной функции прогибов :
(8.1)
Эти соотношения и носят название дифференциальных зависимостей при изгибе.
Для того чтобы наглядно представить эти зависимости, рассмотрим балку, загруженную изменяющейся по линейному закону распределенной нагрузкой (рис.8.1). Эпюры, соответствующие (8.1) и приведенные ниже на этом рисунке, имеют следующие особенности:
– максимальное
по модулю значение прогибов соответствует
нулевому значению
;
– касательные
к эпюре
на концах балки горизонтальны, поскольку
;
– максимальное значение соответствует нулевому значению ;
– касательная
к эпюре
на
левом конце балки горизонтальна, так
как
;
– поскольку
линейна, функции
и
представляют собой многочлены от второй
до пятой степени соответственно.
Отметим,
что, зная только одну функцию
,
по формулам (8.1) можно найти все остальные:
и
,
т.е. определить действующую на балку
нагрузку и построить расчетную схему
самой балки.
На
практике чаще возникает необходимость
в решении обратной задачи
определении функции
по известным функциям
или
.
8.2. Краевая задача изгиба балки
Для того, чтобы найти функцию по известной функции , воспользуемся зависимостью (5.9) или аналогичным соотношением (8.1б):
(8.2)
которое называется дифференциальным уравнением изогнутой оси балки.
Сделаем небольшое отступление и поясним, что означает это понятие.
Под дифференциальным уравнением (ДУ) будем понимать зависимость, связывающую производную от искомой функции с заданной известной функцией.
Решить ДУ значит найти функцию , обращающую эту зависимость в тождество. Порядок производной от функции определяет порядок дифференциального уравнения.
Рассмотрим следующую задачу: найти решение ДУ первого порядка:
,
(8.3)
удовлетворяющее условию:
.
(8.4)
Очевидно,
что решением (8.3) будет не одна, а целое
множество функций, образующих
однопараметрическое семейство:
,
где
постоянная интегрирования. Только одна
из них
при
отвечает условию (8.4). Поэтому решением
задачи (8.3) (8.4) будет:
.
Нетрудно догадаться, что общее решение ДУ второго порядка (8.2) будет зависеть не от одной, а от двух постоянных интегрирования.
В
самом деле, с учетом (8.1а):
уравнение (8.2) можно переписать в виде:
,
или, разделяя переменные, так:
.
Интегрируя, получим:
,
откуда следует:
(8.5)
Интегрируя еще раз с учетом = dv/dz, найдем общее решение ДУ (8.2):
(8.6)
Из полученного множества функций нужно выбрать ту, которая описывает уравнение изогнутой оси конкретной балки. Для этого, как и в рассмотренном выше примере, задают дополнительные требования, которым должна удовлетворять искомая функция. Они отражают условия закрепления балки и представляют собой значения функции прогибов или производной от нее, заданные, обычно, на границе области, занятой балкой, и поэтому называются краевыми или граничными условиями.
Для
простой двухопорной балки длиной
эти условия имеют вид:
;
(8.7)
а для консольной балки, защемленной на левом конце:
. (8.8)
Дифференциальное уравнение изгиба балки (8.2), дополненное краевыми условиями (8.7) или (8.8), и образует краевую задачу изгиба балки.
ПРИМЕЧАНИЕ. При определении прогибов статически неопределимых балок, для которых функция неизвестна, вместо (8.2) приходится рассматривать более общее ДУ четвертого порядка (8.1г):
.
Соответствующее решение этого уравнения зависит от четырех постоянных:
(8.9)
и требует задания не двух, как (8.7) или (8.8), а уже четырех краевых условий.