6.2. Формула Журавского

Появление касательных напряжений между горизонтальными слоями балки позволяет легко определить их величину.

Рассмотрим часть балки длиной , расположенную между двумя сечениями, проведенными на расстоянии и от ее левого конца (рис.6.3а). Изгибающим моментам и в этих сечениях балки будут, в силу (5.10), соответствовать нормальные напряжения и +d.

Проведем горизонтальное сечение на расстоянии от нейтральной оси и рассмотрим равновесие части балки выше этого сечения. Помимо нормальных и касательных напряжений, приложенных в сечениях и , на нее будут действовать касательные напряжения , распределенные по площади нижней грани и уравнение примет вид:

,

где F_отс  площадь части поперечного сечения балки выше рассматриваемого уровня (рис.6.3б).

Подставляя с учетом (5.10) в последнее выражение , получим

,

или, с учетом (3.2) и (4.2):

, (6.5)

где - статический момент части сечения выше рассматриваемого уровня.

Последнее выражение и носит название формулы Д.И.Журавского.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. При выводе формулы (6.5) поперечное сечение балки фактически предполагается выпуклым и односвязным. То есть, эту формулу нельзя, например, формально применить к балке Т , О  или П образного поперечного сечения.

2. В этом курсе не рассматривается изгиб тонкостенных стержней открытого профиля, для которых не выполняется не только предпосылка о равномерном распределении касательных напряжений поперек сечения балки (параграф 6.1), но и гипотеза прямых нормалей (параграф 5.1).

6.3. Касательные напряжения в балках

Ограничимся рассмотрением только двух форм поперечных сечений балок.

Прямоугольное сечение. Статический момент части сечения выше рассматриваемого уровня: , где ордината ее центра тяжести. Для прямоугольного сечения (рис.6.4а) , , поэтому

.

Подставляя в (6.5), получим уравнение :

.

Это парабола, максимальное значение которой достигается при , т.е. на нейтральной оси сечения:

_max= .

Подставляя сюда , получим:

_max= ,

т.е. максимальные касательные напряжения в полтора раза превышают средние по площади сечения касательные напряжения _ср.= .

В крайних волокнах балки ( ) касательные напряжения равны нулю, соответствующая эпюра построена на рис.6.4б.

Двутавровое сечение. Касательные напряжения в полках двутавра с помощью СМ найти нельзя  для этого нужно обращаться к методам теории упругости. Однако для определения этих напряжений в стенке двутавра можно воспользоваться формулой (6.5), если положить в ней ширину балки равной толщине стенки двутавра (рис.6.5а).

При вычислении статического момента площади отсеченной части последнюю можно приближенно заменить двумя прямоугольниками: горизонтальным  размерами и вертикальным  размерами . Тогда

,

где и - статические моменты горизонтального (полки) и вертикального (стенки) прямоугольников.

На участке от 0 до значения и остаются постоянными, а и изменяются по закону для прямоугольного сечения, поэтому результирующая эпюра на рис.6.5б в пределах стенки представляет собой сумму прямоугольной эпюры и параболы. На полках двутавра эпюрой условно может служить продолжение эпюры, показанной пунктиром,  она соответствует прямоугольнику, в который вписан этот двутавр.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Независимо от формы поперечного сечения балок касательные напряжения достигают максимума на нейтральной оси.

2. Касательные напряжения на полках двутавра близки к нулю, поэтому почти вся поперечная сила воспринимается стенкой двутавра.

В свою очередь, изгибающий момент воспринимается, в основном, полками двутавра, которые максимально удалены от нейтральной оси и где максимальны нормальные напряжения.