5.3. Нормальные напряжения

Рассмотрим балку произвольного симметричного сечения в системе координат , где ось совпадает с нейтральной осью, а Oy  является осью симметрии сечения.

Мы уже говорили, что отдельные слои балки фактически находятся в условиях ЦРС, поэтому напряжения в них, с учетом закона Гука, можно найти по формуле (2.6):

. (5.6)

Таким образом, напряжения пропорциональны удалению точек сечения от его нейтральной оси (рис.5.4).

К сожалению, на практике мы не можем воспользоваться последней формулой по двум причинам:

• неизвестно положение нейтральной оси ;

• мы не знаем, чему равно значение .

Для ответа на эти вопросы, воспользуемся выражениями внутренних усилий через напряжения (1.2), а также учтем формулы (5.6) и (4.2):

; (5.7)

. (5.8)

Поскольку при изгибе балки , то из (5.7) следует, что , т.е. нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Изгибающий момент в балке отличен от нуля и, как следует из (5.8), пропорционален изгибной жесткости балки :

.

(5.9)

Поделив (5.6) на (5.9), получим искомое выражение для нормальных напряжений   _z в поперечных сечениях балки:

.

(5.10)

Как видим, максимальные по модулю напряжения будут в точках сечения, наиболее удаленных от его нейтральной оси:

max , (5.11)

где

max (5.12)

 момент сопротивления сечения. Это основная геометрическая характеристика прочности балки.

Для прямоугольного сечения (рис.4.2) max = , поэтому .

5.4. Рациональные сечения балок

Рассмотрим множество балок, имеющих одинаковые по величине максимальные изгибающие моменты М. Пусть поперечные сечения этих балок равны по площади  F, но различны по форме. Естественно возникает вопрос: какая форма поперечного сечения будет наилучшей?

Для ответа на него нужно, прежде всего, формулировать критерий оптимальности. С учетом условия прочности при ЦРС (2.7):

_max=

наилучшей можно считать балку, у которой максимальные по модулю нормальные напряжения минимальны:

max min . (5.13)

В силу (5.11) последнее выражение при фиксированном значении М примет вид:

max, (5.14)

т.е. из множества балок с одинаковой площадью поперечного сечения оптимальной будет балка с наибольшим значением момента сопротивления W.

Последний вывод, конечно, требует пояснения, и для этого мы рассмотрим следующий пример.

Предположим, в нашем распоряжении  стальная балка квадратного поперечного сечения со стороной см (рис.5.5а). Площадь и момент сопротивления такого сечения будут, соответственно, равны: см²; см³.

Качество балки можно заметно улучшить, если, пропустив через прокатный стан, превратить ее в балку прямоугольного поперечного сечения шириной см и высотой см (рис.5.5б). Соответствующие параметры такой балки будут равны: см²; см³.

Продолжив мысленно наш эксперимент, можно из имеющегося образца изготовить балку двутаврового поперечного сечения высотой см с толщиной стенки см (рис.5.5в). Для соответствующей стандартной балки несколько меньшей площади поперечного сечения см² с толщиной стенки см, момент сопротивления см³.

Т аким образом, , т.е. последняя балка в 6 раз прочнее прямоугольной и в 9 раз прочнее балки квадратного поперечного сечения.

Можно ли продолжить этот процесс поиска более совершенной и прочной балки при заданной площади поперечного сечения? Или, другими словами, ограничено ли максимальное значение W?

Как теория, так и практика дают положительный ответ на последний вопрос. Попытка создать двутавровую балку с большим моментом сопротивления за счет увеличения высоты и соответствующего уменьшения толщины ее стенки не приведет к созданию более прочной балки. Причина этого  в том, что с уменьшением толщины стенки балки увеличивается опасность потери ее устойчивости. Это явление сопровождается выпучиванием стенки балки и имеет ту же природу, что и рассмотренная ранее (рис.1.4а) потеря устойчивости сжатого стержня. Отметим, что при этом двутавровая балка перестает отвечать критерию стержневых систем (параграф 1.2) и переходит в разряд тонкостенных пространственных конструкций.