Примечания:

1. Кинематическая гипотеза, известная как гипотеза плоских сечений Я.Бернулли, фактически применялась нами еще в параграфе 2.1 при рассмотрении деформации ЦРС: введенная там предпосылка о постоянстве в поперечном сечении стержня с учетом закона Гука (2.6) означала постоянство , а в силу (2.4)  также и w.

2. Рассмотренные гипотезы, особенно в случае поперечного изгиба, соответствуют действительности только приближенно:

• вблизи мест приложения нагрузки нарушается статическая гипотеза о несдавливании горизонтальных слоев;

• первоначально плоские поперечные сечения при деформации могут искривляться и так далее.

Тем не менее, полученные на их основе результаты расчета вполне отвечают потребностям инженерной практики.

5.2. Перемещения и деформации

Рассмотрим балку в системе координат , где ось балки совпадает с осью , проходящей через нейтральные оси сечений (рис.5.2а).

Прогибами балки называются перемещения точек ее оси, которые с учетом кинематической гипотезы возможны только в направлении оси .

Изогнутой осью балки называется кривая , которую принимает ось балки при деформации.

Угол поворота сечения равен углу наклона касательной к изогнутой оси балки. На основании гипотезы малости перемещений (параграф 1.4):

θ(z) ≈ sin θ ≈ tg θ = dv/dz . (5.1)

Правило знаков  в соответствии с рис.5.2б.

Отметим, что в силу гипотезы Бернулли перемещения всех точек балки описываются перемещениями точек, лежащих в плоскости ее симметрии Oyz.

Чтобы проследить за точками балки, не лежащими на ее оси, рассмотрим консоль длиной z, защемленную на левом конце и загруженную на правом  моментом (рис.5.3).

З афиксируем на свободном конце балки точку А  пусть она находится на расстоянии у от нейтральной оси, проходящей через точку С, и в результате деформации занимает в пространстве положение .

Из найдем модуль проекции вектора перемещения на ось Оz: w(z) = AB = ACsin  = y sin . Принимая во внимание (5.1) и заменяя приближенное равенство строгим, получим с учетом знака w(z):

w(z) = y tg  = y dw/dz. (5.2)

В силу статической гипотезы отдельные слои балки ведут себя как при ЦРС, поэтому деформации можно найти по формуле (2.3):

_z . (5.3)

Таким образом введенные в предыдущем параграфе гипотезы, позволяют выразить перемещения и деформации точек балки через уравнение ее изогнутой оси .

Примечания:

1. Фактически изменение длины волокна балки, проходящего через точку А ее сечения, равно не отрезку , а отрезку AB = y tg, и (5.1) означает, что (рис.5.3б).

2. Для строгого обоснования формулы (5.3) нужно рассмотреть, как это было сделано в параграфе 2.1, часть балки длиной , где - радиус кривизны изогнутой оси балки и найти непосредственно по формуле (2.2):

_z . (5.4)

Переход от (5.4) к (5.3) означает, что в выражении кривизны:

(5.5)

мы пренебрегаем членом , величина которого, в соответствии с действующими в строительстве нормами, не превышает 10^-4.