4.4. Моменты инерции простых сечений

К числу наиболее распространенных форм поперечных сечений балок, особенно деревянных, относятся прямоугольник и круг.

Прямоугольник. Рассмотрим поперечное сечение балки шириной b и высотой h и определим его момент инерции (4.4) относительно оси (рис.4.2).

Разобьем площадь сечения F на полоски шириной h и высотой и положим . Тогда интегрирование по площади F сведется к вычислению одномерного интеграла:

.

Итак, момент инерции прямоугольника:

(4.7)

К руг. Определим вначале момент инерции круга радиуса R относительно его центра О (рис.4.3). Проще всего вычислить соответствующий интеграл в (4.4), разбивая круг на кольца шириной dr и полагая dF равной площади этого кольца.

С точностью до бесконечно малых первого порядка , поэтому:

Теперь с помощью (4.5) легко найти и :

(4.8)

Пример 4.1. Вычислить центральный момент инерции балки треугольного поперечного сечения (рис.4.4а).

Решение. Рассмотрим сечение в виде квадрата со стороной (рис.4.4б). Полагая в (4.7) , найдем момент инерции квадратного сечения относительно оси .

Воспользовавшись для квадрата соотношением (4.5), получим:

,

о ткуда .

И

_

з (4.4) следует, что момент инерции составного сечения относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции отдельных частей этого сечения относительно той же оси. Поэтому, представив квадрат на рис.4.4б в виде двух треугольников, разделенных осью , получим, что момент инерции каждого из них относительно оси будет равен:

.

Возвращаясь к рис.4.4а, найдем для заданной балки:

.

Центр тяжести треугольника отстоит от центра О на расстояние , поэтому расстояние между осями и равно .

Воспользовавшись зависимостью 4.6, получим:

. 

Глава 5. Нормальные напряжения при изгибе

5.1. Предпосылки расчета

Мы выяснили, что напряжения в поперечном сечении балки статически эквиваленты внутренним усилиям, которые находят из условий равновесия ее отсеченной части. Однако, для расчета на прочность недостаточно определить М и Q  нужно знать именно напряжения и . Чтобы выразить последние через внутренние усилия (1.2), надо ввести дополнительные гипотезы, отражающие особенности деформирования балки и распределение напряжений по площади ее сечения,  подобные введенной при рассмотрении ЦРС.

Д ля обоснования соответствующих предпосылок рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения в условиях чистого изгиба с нанесенной на ее боковой поверхности ортогональной сеткой (рис.5.1).

Как видим, ее нижние волокна  растягиваются, верхние  сжимаются, а образующие нейтральный слой  остаются недеформированными. При этом размеры сечения по оси не меняются, а сами сечения остаются перпендикулярными к изогнутой оси балки.

Это позволяет ввести в рассмотрение две гипотезы.

1. Статическая гипотеза. Горизонтальные слои балки не давят друг на друга, т.е. .

2. Кинематическая гипотеза. Сечения, перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются перпендикулярными к ее изогнутой оси. При этом перемещения точек нейтрального слоя балки вдоль осей и равны нулю.

Как показывает опыт, применение этих гипотез оправдано и в случае поперечного изгиба балки.

Определение. Прямая, полученная пересечением нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения, называется его нейтральной осью.