Глава 4. Геометрические характеристики сечений

Прочность балки при изгибе, в отличие от ЦРС, зависит не только от площади поперечного сечения, но и от формы этого сечения. В этом нетрудно убедиться на примере деревянной линейки, положенной плашмя или поставленной на ребро.

4.1. Статические моменты сечения

Р ассмотрим произвольное поперечное сечение площадью F в системе координат Оху (рис.4.1).

Центр тяжести этого сечения, как известно из ТМ, определяется координатами:

; .

Запишем эти формулы в виде:

; ; (4.1)

где - статические моменты сечения относительно осей Ox и Oy.

Очевидно, что каждый из этих моментов можно рассматривать как предел суммы элементарных площадей , на которые разбито сечение, умноженных на взятые со знаком расстояния от них до этих осей:

; . (4.2)

Если сечение разбито не на элементарные , а на конечные площади , формулы (4.2), как и в методе разбиения из ТМ, примут вид:

, , (4.3)

где - координаты центров тяжести этих площадей.

Проведем через центр тяжести С центральные оси , параллельные осям , и запишем формулы (4.1) в системе координат :

; .

Отсюда следует, что = = 0, т.е. статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

Отметим, что статические моменты измеряются в м³ или см³ и называются моментами первого порядка, т.к. равны произведению площади на расстояния в первой степени.

4.2. Моменты инерции сечения

Эти моменты являются моментами второго порядка и определяются следующим образом.

Момент инерции сечения относительно центра (оси) равен сумме произведений элементарных площадей на квадраты расстояний до этого центра (оси).

Переходя в этих суммах к пределу при стремлении элементарных площадей к нулю, получим:

;

;

(4.4)

С учетом зависимости получим из этих формул соотношение:

(4.5)

т.е. момент инерции относительно центра или полярный момент инерции равен сумме осевых.

Моменты инерции измеряются в м⁴ или в см⁴ и, в отличие от статических моментов, всегда положительны.

ПРИМЕЧАНИЕ. В этом курсе мы ограничимся изучением прямого изгиба и симметричных сечений, поэтому не будем рассматривать другие моменты инерции, необходимые для характеристики несимметричных сечений.

4.3. Моменты инерции относительно параллельных осей

Для определения геометрических характеристик сложных сечений, составленных из стандартных прокатных профилей (двутавр, швеллер и др.), нужно знать соотношения между моментами инерции этих элементов относительно собственных центральных осей, приведенными в сортаменте, и моментами инерции относительно центральных осей всего сечения.

Рассмотрим две системы координат и (рис.4.1), связанные зависимостями:

; .

Для момента инерции из (4.4) с учетом последнего соотношения получим:

,т.к. (см. параграф 4.1).

Таким образом, момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями:

…. . (4.6)