3.4. Примеры построения эпюр

Переходя к рассмотрению примеров, отметим, что, помимо изложенного выше метода построения эпюр, существуют и другие методы, однако разница между ними невелика и все они базируются на приведенном в параграфе 3.1 определении Q и М. Поэтому при решении этих задач надо помнить о следующем:

• значения Q и М в любом сечении балки можно вычислить просто в соответствии с этим определением;

• верное решение в общем случае можно получить только при условии правильного определения опорных реакций, для которых рекомендуется указывать их истинное направление;

• заключительным и самым важным этапом решения задачи является контроль правильности построения эпюр, рассмотренный в параграфе 3.3.

Во многих случаях решение задач можно упростить, если воспользоваться рассмотренным в параграфе 1.4 принципом суперпозиции, в соответствии с которым эпюры Q и М от заданной нагрузки можно найти как суммы соответствующих эпюр от каждой нагрузки в отдельности. При реализации этого метода полезно знать решения для простых двухопорных и консольных балок, загруженных сосредоточенными силами, моментами и распределенной нагрузкой - подобных рассмотренным на рис. 3.3.

Пример 3.1. Построить эпюры Q и М (рис.3.4а).

Решение. Балка состоит только из одного участка, границы которого совпадают с ее естественными границами.

Опорные реакции можно не определять, если рассматривать равновесие части балки, расположенной справа от сечения, проведенного на расстоянии от ее свободного правого конца (рис.3.4б):

; ; ; (а)

; ; . (б)

С троим эпюры Q и М по зависимостям (а) и (б), контролируя правильность решения задачи:

– на загруженном участке балки – парабола, – линейная функция;

– зависимости Журавского принимают вид:

; ;

– нисходящая (слева - направо!) эпюра М соответствует положительным значениям Q;

– на левом конце балки эпюры Q и М имеют скачки на величину соответственно опорной реакции R_A= ql и реактивного момента М_A = ql²/2, где знаки последних соответствуют правилу ТМ (рис.3.4).

Отметим, что

М_А^ТМ = ql²/2, М_А^СМ = – ql²/2. ·

Как видим, опорные реакции можно найти не только из уравнений равновесия балки, но и с помощью построенных эпюр.

Пример 3.2. Построить эпюры Q и М (рис.3.5а).

Решение. В соответствии с планом, приведенным в параграфе 3.3:

1) Находим опорные реакции из условий равновесия балки (рис.3.5б):

åМ_А = 0; = 0; R_B = 1,5 кН;

åМ_В = 0; –R_A ; R_A = 2,5 кН.

Проверка:

åY = R_A – + R_B = 2, 5– +1, 5 = 0.

2) Делим балку на участки:

– первый участок: ;

– второй участок: (или ).

3) Определяем Q и М, рассматривая равновесие части балки слева от сечения – на первом и справа от сечения – на втором участке (рис.3.5в).

3.1) Первый участок

; R_A – ; (а)

; –R_Az₁+ ; . (б)

Для построения Q вычисляем ее значения на границе участка:

. (в)

Поскольку функция меняет знак, находим корень уравнения : .

Для построения эпюры , представляющей собой параболу, вычисляем ее значения в трех точках:

; ; . (г)

3.2) Второй участок

; R_B=0; R_B= (д)

; + R_B = 0; ; (е)

; . (ж)

4) Строим эпюры Q и М по вычисленным значениям (в), (г) и (ж).

5) Проверяем правильность построения эпюр:

– зависимости Журавского на первом участке – из (а) и (б):

;

– то же на втором участке – из (д) и (е):

;

– нисходящему участку эпюры М ( ) соответствует ;

– эпюра Q на концах балки имеет скачки на величину R_A и R_B соответственно, у эпюры М - скачок в точке приложения сосредоточенного момента.

Отметим, что максимальное значение изгибающего момента: М_max = = max(1,56; 3) = 3кНм достигается на границе участка. ·

Пример 3.3. Построить эпюры Q и М методом суперпозиции (рис.3.6а).

Решение. Суть этого метода – в том, чтобы вместо одной сложной задачи решить три (в данном примере), но простых.

На трех участках из четырех эпюра М от заданной нагрузки будет линейной, поэтому ограничимся построением только этой эпюры. Будем искать ее в виде суммы: , где слагаемые представляют собой эпюры моментов от загружения заданной балки соответственно – и М, и для их построения можно воспользоваться полученными ранее решениями.

Эпюра M_q на первом участке заданной балки: симметрична эпюре, приведенной на рис. 3.4, причем M_q(2) = – ql²/2 = – 2кНм. На последнем участке ( ) по определению , а на незагруженном участке между опорами А и В она изменяется по линейному закону.

Аналогично, не определяя опорных реакций, можно построить эпюру M_p на основе эпюры, приведенной на рис.3.3. Эпюра строится аналогично .

Теперь для построения М достаточно вычислить ее значение в точке : M(4) = M_q(4) + M_p(4) + M_M(4) = - 1 + 4 + 1 = 4кНм (рис.3.6б).

Переходим к построению эпюры Q.

На первом участке она обратносимметрична эпюре, приведенной на рис.3.4. На незагруженных участках балки эпюру Q легко построить по эпюре М, воспользовавшись зависимостью tga:

– на втором участке :

tga₁= (4+2)/2=3 кН;

– на третьем :

– tga₂= – (4–2)/2= –1 кН;

– на последнем четвертом участке М = const, поэтому Q = 0 (рис.3.6в).

По эпюре Q находим реакции опор (рис.3.6г) и выполняем статическую проверку правильности решения:

R_A –P + R_B = . ·