3. Визначники. Обчислення визначників.

Означення 9. Квадратній матриці A n-го порядку можна поставити у відповідність число (або , або ), яке називають визначником цієї матриці.

1. При .

2. При , .

Обчислення визначника другою порядку можна проілюструвати такою схемою:

.

Приклад 5. Знайти визначники матриць: а) ; б) .

Розв’язання.

а) .

б) .

3. При .

Визначник матриці А також називають її детермінантом.

При обчислені визначників третього порядку зручно користуватися правилом трикутника, яке схематично можна записати так:

.

Приклад 6. Обчислити визначник матриці .

Розв’язання.

.

За іншою схемою дописуються два перших стовпчики до матриці А. В результаті дістають прямокутну матрицю розміром . Тоді додатні та від’ємні доданки беруть за схемою (правило Саррюса):

Приклад 7. Обчислити визначник за правилом Саррюса.

Розв’язання.

= .

4. Властивості визначників.

Для визначників третього порядку можна навести властивості, які будуть справедливі для визначників довільного порядку.

1. Величина визначника не зміниться, якщо всі рядки змінити на стовпці з тим же номером

.

2. Перестановка двох стовпців або рядків визначника рівносильна множенню визначника на (-1).

.

3. Якщо визначник має два рівних стовпці чи рядки, то він дорівнює нулю.

4. Множення всіх елементів деякого рядка чи стовпця визначника на числа k, рівносильне множенню цього визначника на це число k.

.

5. Якщо всі елементи деякого рядка чи стовпця визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

6. Якщо відповідні елементи двох стовпців або рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожен елемент деякого стовпця чи рядка визначника являє собою суму двох доданків, то визначник можна подати у вигляді суми двох визначників.

.

8. Якщо до елементів деякого стовпця чи рядка додати відповідні елементи іншого стовпця чи рядка, помножені на спільний множник, то величина визначника не зміниться.

5. Обчислення визначників n-го порядку. Мінори. Алгебраїчні доповнення.

Розглянемо визначник n-го порядку

Означення 10. Мінором елемента визначника n-го порядку називається визначник (n–1)-го порядку, який одержимо з даного визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент .

Якщо визначник , то мінори ,

Означення 11. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називають мінор цього елемента, взятий із знаком “плюс”, якщо сума номерів рядка і стовпчика – число парне, та зі знаком “мінус”, якщо – непарне, тобто

.

Приклад 8. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів та визначника .

Розв’язання.

,

.

Теорема Лапласа. Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

.

Приклад 9. Обчислити визначник матриці за теоремою Лапласа

Розв’язання.

Для обчислення визначника вибирають рядок або стовпець, де є нульові елементи.

Виберемо 1 стовпчик, маємо