РОЗДІЛ 1

Лінійна алгебра

Лекція 1

Тема. Матриці та визначники

План

1 .Матриці, основні поняття.

2. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями.

3. Визначники. Обчислення визначників.

4. Властивості визначників.

5. Обчислення визначників n-го порядку.

1. Матриці, основні поняття Означення 1. Матрицею розміром m n називається прямокутна таблиця чисел, розміщених у m рядках і n стовпцях.

Позначається матриця так:

або скорочено , де

Числа , що складають матрицю, називають її елементами.

Елементи матриці , у яких номер рядка і стовпчика співпадають, утворюють головну діагональ матриці.

Означення 2. Дві матриці називаються рівними, якщо вони однакового розміру і їх відповідні елементи рівні між собою, тобто A = B, якщо

Різновиди матриць.

1. Матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців називається квадратною. Квадратну матрицю розміром n n називають матрицею n-го порядку.

2. Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною.

Наприклад,

3. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі, дорівнює одиниці, називається одиничною. Позначають буквою E.

Наприклад, одинична матриця 3-го порядку .

Одинична матриця n-го порядку має вигляд .

4. Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю.

5. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю називають нульовою і позначають буквою О.

Вона має вигляд: .

6. Матриця, що складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем, або вектором – стовпцем.

Матриця, що складається з одного рядка, називається матрицею-рядком, або вектором-рядком.

Їх вигляд: .

7. Матриця розміру 1 1, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом, тобто є число 5.

Означення 3. Якщо в матриці А поміняти місцями рядки і стовпці із збереженням їх порядку, то одержана матриця називається транспонованою до матриці А і позначається А^Т.

Наприклад, якщо , то .

Якщо , то .

Транспонування матриць має таку властивість: .

2. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями. Додавання матриць.

Дію додавання матриць розглядають лише для матриць однакових розмірів.

Означення 4. Сумою двох матриць та називається матриця така, що , де

Приклад 1. Знайти , якщо , .

Розв’язання.

.

Аналогічно визначається різниця матриць.

Добуток матриці на число.

Означення 5. Добутком матриці на дійсне число k називається матриця така, що , де

Приклад 2. Знайти добуток , якщо .

Розв’язання.

.

Додавання матриць та множення матриці на число має наступні властивості.

1. A + B = B + A.

2. A + (B + C) = (A + B) +C.

3. A + О = A

4. A – A = О

5. k(A + B) = kA + kB.

6. (k + p)A = kA + pA.

7. k(pA) = (kp) A.

А, B, C – матриці.

k i p – деякі числа.

Множення матриць.

Множення матриць визначається тільки для узгоджених матриць.

Означення 6. Матриця А називається узгодженою з матрицею B, якщо число стовпців матриці A дорівнює числу рядків матриці B.

Означення 7. Добутком матриці на матрицю називається матриця для якої , де , тобто елемент і-го рядка і k-го стовпця матриці добутку С дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи k-го стовпця матриці B.

Якщо матриці A i B квадратні одного розміру, то добутки AB та BA завжди існують.

Легко показати, що AE = EA = A, де A–квадратна матриця, Е–одинична матриця того ж розміру.

Приклад 3. Знайти добуток матриць , якщо , .

Розв’язання.

.

Приклад 4. Знайти добуток , якщо .

Розв’язання.

Добуток AB не визначений, оскільки кількість стовпців матриці А не дорівнює кількості рядків матриці B. При цьому добуток BA визначено

.

Добуток матриць має такі властивості:

1. A(BC) = (AB) C.

2. A(B +C) = AB +AC.

3. (A + B) C = AC + BC.

4. k(AB) = (kA)B.

5. (AB)^T = В^TА^T

6. AО = ОA = О.

Означення 8. Матриці A і B називають переставними або комутативними, якщо AB = BA.