Тест Грегори Чоу

В том случае, когда фиктивная переменная действует на коэффициент при объясняющей переменной, линия модели отличается от той, которая была до уровня х₀ (рис. 4.3б), что соответствует разбиению выборочных данных на две части (группы) и рассмотрению отдельных уравнений регрессии по каждой выборке (подвыборке).

В практических исследованиях достаточно часто возникает вопрос, имеет ли смысл разбивать выборку на части и строить так называемою кусочно-линейную модель с фиктивными переменными (рис. 4.3б) или ограничиться «обыкновенной» общей регрессией для всего диапазона точек наблюдений?

Для ответа на этот вопрос обычно используется тест (критерий) Грегори Чоу [1,28], суть которого заключается в следующем. Пусть общая выборка имеет объем n Через S₀ обозначим сумму квадратов отклонений выборочных данных от их модельных оценок, полученных по общему уравнению регрессии. Разобьем выборку на две подвыборки объемами n₁ и n₂ соответственно (n₁ + n₂ = n). Будем считать, что для каждой подвыборки можно построить уравнения регрессии одного вида, но с разными коэффициентами b. Через и обозначим соответствующие суммы квадратов отклонений. Далее рассмотрим некоторые соотношения.

Очевидно, что равенство S₀ = S₁ + S₂ выполняется лишь при совпадении коэффициентов регрессии для всех трех уравнений. Тогда отклонение S₀  (S₁ + S₂) может быть использовано как показатель улучшения качества модели при разбиении интервала наблюдений на две подвыброки, так как чем сильнее различие в поведении Y для каждой из подвыборок, тем больше значение S₀ будет превосходить сумму S₁ + S₂. Следовательно, отношение [S₀  (S₁ + S₂)]/(m + 1) будет определять оценку уменьшения дисперсии регрессии за счет построения двух уравнений вместо одного.

При разбиении общей выборки число степеней свободы сократится на (m + 1), т. к. теперь вместо (m + 1) параметра объединенной регрессионной модели необходимо оценивать (2m + 2) коэффициента двух регрессий. В данном случае соотношение (S₁ + S₂)/(n  2m  2) выражает необъясненную дисперсию зависимой переменной при рассмотрении двух регрессий.

Приведенные выше рассуждения позволяют сделать вывод о том, что общую выборку целесообразно разбивать на два интервала только в том случае, если соответствующее уменьшение дисперсии будет значимо больше оставшейся необъясненной дисперсии. Этот вывод может быть основан на стандартной процедуре сравнения дисперсий на основе F-статис­тики, наблюдаемое значение которой для данного анализа имеет вид:

(4.23)

где m  число количественных объясняющих переменных в уравнениях регрессии (m  одинаково для всех трех уравнений модели).

Если F_набл < F_кр при заданном уровне значимости  и соответствующих числах степеней свободы v₁ = m + 1 и v₂ = n  2m  2, то можно считать, что различие между S₀ и S₁ + S₂ статистически незначимо и нет смысла разбивать уравнение модели на части путем введения фиктивных переменных. Следует заметить, что фактически мы тестируем гипотезу Н₀ о равенстве коэффициентов b уравнений регрессии, построенных по каждой подвыборке. Если нулевая гипотеза Н₀ верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну, построенную по выборке объема n = n₁ + n₂.