4.1.2. Операции над событиями

Операции над событиями аналогичны операциям над множествами.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Сумма событий может быть обозначена знаками «+», «и», «или».

На рисунке 4.1 представлена геометрическая интерпретация с помощью диаграмм Эйлера - Венна. Сумме событий А + В будет соответствовать вся заштрихованная область.

Область пересечения событий А и В соответствует совместным событиям, которые могут произойти одновременно. Аналогично для событий А, В и С имеются совместные события А и В; А и С; В и С; А и В и С, которые могут про­изойти одновременно.

Например, в урне находятся белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А - вынут белый 1 шар; В - вынут красный шар; С - вынут синий шар. Событие В + С означает, что произошло событие - вынут цветной шар или вынут не белый шар.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Произведение событий может быть обозначено знаками «х», «∩», «и».

Геометрическая интерпретация произведения событий представлена на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Произведением событий А и В будет заштрихованная область пересечения площадей А и В. А для трех событий А и В и С - общая площадь, одновременно входящая во все три события.

Например, пусть из колоды карт наугад извлекается карта. Событие А - вынута карта пиковой масти; В - вынут валет. Тогда событие А х В означает событие - вынут валет пик.

Разностью двух событий А-В называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

А-В АхВ-С

Рис. 4.3

На рис. 4.3 представлена иллюстрация разности событий с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Р азностью двух событий А - В является заштрихованная область А без той части, которая входит в событие В. Разность между произведением событий А и В и событием С будет совместная площадь события А и события В без совместной с нею площадью события С.

Например, пусть при бросании игрального кубика событие А - появление четных чисел (2, 4, 6), а событие В - чисел кратных 3, т.е. (3, 6). Тогда событие А - В появление чисел (2, 4).

4.1.3- Определение вероятности события

Случайные события реализуются с различной возможностью. Одни происходят чаще, другие реже. Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события.

Вероятность события - это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.

Вероятность обозначается буквой Р (probabilitty (англ.)-вероятность). Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.

Классическое определение вероятности заключается в следующем. Если известны все возможные исходы испытания и нет оснований считать, что одно случайное событие появлялось бы чаще других, т.е. события равновозможны и несовместны, то имеется возможность аналитического определения вероятности события.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов т к общему числу равновозможных несовместных исходов т

Р(А) = m (4.1)

n

Свойства вероятности:

1. Вероятность случайного события А находится между 0 и 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

♦ Пример 4.1

Найти вероятность выпадения числа кратного 3 при одном бросании игрального кубика.

Решение:

Событие А - выпадение числа кратного 3. Этому событию благоприятствуют два исхода: числа 3 и 6, т.е. т = 2. Общее число исходов состоит в выпадении чисел: 1,2, 3,4, 5,6, т.е. п = 6. Очевидно, что эти события равновозможны и образуют полную группу. Тогда искомая вероятность, по определению, равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов.

♦ Пример 4.2

В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение:

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:

При определений вероятности события по ее классическому определению требуется выполнение определенных условий. Эти условия заключаются в равновозможности и несовместности событий, входящих в полную группу событий, вероятность которых надо определить. На практике не всегда можно определить все возможные варианты исходов, а тем более обосновать их равновозможность. Поэтому при невозможности удовлетворения требованиям классического определения вероятности используют статистическую оценку вероятности события. При этом вводится понятие относительной частоты появления события А, равной отношению ^т /п, где т - число испытаний, в которых произошло событие А; п - общее число испытаний.