2.4. Полиномиальная регрессия

Если линейная аппроксимирующая функция дает в заданных точках значительные отклонения, используется приближение полиномами второй и выше степеней вида

Так, для квадратных приближений (при m = 2) определение параметров по методу наименьших квадратов сводится к нахождению минимума критерия отклонения как функции трех переменных .

Условия минимума квадратичного критерия имеют вид:

или после преобразований:

Вычисления коэффициентов системы удобно выполнять в виде таблицы.

i	Xi	Xi2	Xi3	Xi4	Yi	YiXi	YiXi2
0	X0	X02	X03	X04	Y0	Y0X0	Y0X02
1	X1	X12	X13	X14	Y1	Y1X1	Y1X12
2	X2	X22	X23	X24	Y2	Y2X2	Y2X22
…	…	…	…	…	…	…	…
n	Xn	Xn2	Xn3	Xn4	Yn	YnXn	YnXn2
Σ

2.5. Пример выполнения аппроксимации полиномами

Если имеется набор экспериментальных точек из (n+1) точки, то порядок аппроксимирующего полинома всегда должен быть меньше числа этих точек (m < n). С уменьшением m эмпирическая зависимость упрощается, но ошибка аппроксимации растет. Завышение m приводит к неоправданному росту числа вычислительных операций.

При выборе степени полинома удобно пользоваться таблицей конечных разностей. Степень полинома можно брать равной порядку мало отличающихся конечных разностей. Линейная аппроксимация пригодна только тогда, когда первые конечные разности мало отличаются друг от друга. Для проверки соответствия уравнения регрессии экспериментальным данным вычисляют ошибку аппроксимации. Если отклонения по модулю не превышают ошибок измерений функции, то можно считать выведенную формулу приемлемой. В противном случае рекомендуется изменить степень полинома или изменить вид искомой формулы.

Пример 2.1. Функция задана таблично:

X	0	1	2	3	4	5	6
Y	1,8	1,9	2,3	2,5	2,8	3,1	2,5

Найти многочлены первой и второй степени, аппроксимирующие заданную функцию.

Решение

Вычисление коэффициентов систем оформим в виде таблицы.

i	Xi	Xi2	Xi3	Xi4	Yi	YiXi	YiXi2
0	0	0	0	0	1,8	0	0
1	1	1	1	1	1,9	1,9	1,9
2	2	4	8	16	2,3	4,6	9,2
3	3	9	27	81	2,5	7,5	22,5
4	4	16	64	256	2,8	11,2	44,8
5	5	25	125	625	3,1	15,5	77,5
6	6	36	216	1296	2,5	15	90
Σ	21	91	441	2275	16,9	55,7	245,9

Тогда система уравнений для нахождения коэффициентов линейной регрессии

Решаем систему методом Гаусса.

Получаем .

Ответ: аппроксимирующая функция .

Система уравнений для нахождения коэффициентов полиномиальной регрессии

Решаем систему методом Гаусса.

Получаем .

Ответ: аппроксимирующая функция .

Построим полученные зависимости и отметим заданные точки.

Рис. 2.1

Вычислим отклонения аппроксимирующих зависимостей ε. Оформим вычисления в виде таблицы.

Xi	0	1	2	3	4	5	6
Yi	1,8	1,9	2,3	2,5	2,8	3,1	2,5
F1	1,8786	2,0571	2,2357	2,4143	2,5929	2,7714	2,9500
ε1	0,0786	0,1571	-0,0643	-0,0857	-0,2071	-0,3286	0,4500
F2	1,6524	2,0571	2,3714	2,5952	2,7286	2,7714	2,7238
ε2	-0,1476	0,1571	0,0714	0,0952	-0,0714	-0,3286	0,2238

Отсюда , а , то есть можно считать многочлен второго порядка аппроксимирующей функцией с точностью до ε.