Билет № 12. Ил: исчисление, семантика, связь с модальной системой s4

Интуиционистское исчисление высказываний

Брауэр считал, что невозможно сформулировать логическую систему.

Несколько ЛТ.

А. Гейтинг 1930

   

1. А  (В  А)

2. (А  (В  С))  ((А  В)  (А  С))

3. (A&B)  A

4. (A&B)  B

5. A  (B  (A&B))

6. A  (AB)

7. B  (AB)

8. (A  С)  ((B  С)  ((AB)  С))

9. (А  В)  ((А  В)  А)

10. А  (А  В)

A B,A

R1. B

Колмогоров А.Н. 1932

Интерпретация ИЛ в терминах решения задач.

Обычное значение – истинностные оценки. Бывают ситуационные оценки.

В качестве значений – задачи.

Переменным – элементарные задачи, сложным – задачи по решению других задач.

A&B – решить задачу А и задачу В

AB - решить задачу А или задачу В

A B – свести решение задачи А к решению задачи В

А – предполагая задачу А решенной, прийти к противоречию

А. Гжегорчик 1964

Основана на понятии информационного приращения.

ИЛ легко можно интерпретировать в эпистемических терминах.

Классическая логика – логика бытия; ИЛ – логика знания.

Семантика возможных миров для ИЛ

С.А. Крипке 1965

<W, w0, R, I > = Μ

1. W ≠  – множество возможных миров

2. w0  W – выделенный мир, трактуем как актуальный

3. R – отношение достижимости (альтернативности) между возможными мирами.

Рефлексивно, транзитивно.

4. I – семантическая функция, которая приписывает значения переменным в одном мире.

I (,w)  {и, л} реализуется принцип конкретности истинности

(I (,w1) = и & R(w1,w2))  I (,w2) = и Принцип сохранности истины

Кумулятивная модель знания: знание, истина исчезнуть не может

Возможные миры – срезы значения. Расширение знания. Логика роста и накопления знания.

Условия истинности и ложности формул:

||w^M = и  I (,w) = и

= л  I (,w) = л

|А| w^M = и  w' (R(w,w')  |А|w' = л)

= л  w' (R(w,w') & |А|w' = и)

|А&B|w^M = и  |А|w = и & |B|w = и

= л  |А|w = л  |B|w = л

|АB|w^M = и  |А|w = и  |B|w = и

= л  |А|w = л & |B|w = л

|АB|w^M = и  w' (R(w,w')  (|А|w' = л  |B| w' = и))

= л  w' (R(w,w') & (|А|w' = и & |B| w' = л))

Формула А истинна в модели <W, w0, R, I > тогда и только тогда, когда |А|w0 = и

Формула А является законом, если А =и в любой модели данного типа.

Исчисление Гейтинга – семантически непротиворечивое и полное.

Связь ИЛ с КлЛ

Если сравнивать по множеству законов: все законы ИЛ являются законами классической.

ИЛ  КлЛ. Законы КлЛ могут адекватно интерпретироваться в ИЛ.

Глименко: КлЛ «погружается» в ИЛ (более бедная). ИЛ в терминах КлЛ объяснить нельзя.

Связь ИЛ с модальной системой S4

Int     S4     □ - разная семантика связок.

Можно осуществить перевод Int в S4

φ: аргументы – Int, значения – S4

φ () = □

φ (A&B) = φ(A) & φ(B)

φ (AB) = φ(A)  φ(B)

φ (A B) = □(φ(A)  φ(B))

φ (А) = □φ(А)

Int «погружается» в S4. Смысл инт. связок мы можем адекватно передать в S4. Тарский, Маккинси

Единство современной логики.