Билет № 11. Идейные предпосылки возникновения ил. Понятие конструктивного объекта и доказательства. Особенности трактовки понятия истины в интуиционизме.

Идейные предпосылки возникновения ИЛ

Перв. четв. ХХв.

Острые запросы в математике.

Серьезный кризис в математике. Доминирующая теория – наивная теория множеств. В ее рамках можно определить все фундаментальные математические понятия. Были обнаружены парадоксы, система противоречива.

Один из парадоксов – парадокс Бертрана Рассела

2 типа множеств: нормальные и ненормальные

N – нормальное ≡Df N  N

N – ненормальное ≡Df N  N (например, множество всех множеств).

1. М – норм.  М – ненорм.

+2. М – норм.

3. М  М

4. М  М

+5. М – норм.

6. М  М

7. М  М

В любом случае – противоречие.

Разные программы выхода из кризиса:

1. Программа логицизма б. Рассел

Надо положить в основание математики логику – более точную науку. Нужно создавать богатые ЛТ, выводить математику из логики, наивно строить математику на базе логики.

2. Программа формализма д. Гильберт

Нужно строить математические теории на базе логических систем. Не определять. Строить математику как прикладную ЛТ и доказать ее непротиворечивость.

3. Математический интуиционизм л.Э.Я. Брауэр

Виновник парадоксов – логика.

Поставлен вопрос о пересмотре классической логики; надо отказаться от некоторых способов рассуждения и построить математику на базе другой логики.

Понятие конструктивного объекта и конструктивного доказательства. Особенности интуиционистской трактовки истинности.

Главный объект критики – теоремы чистого существования.

αА: доказываем, что объект есть, но что это за объект - непонятно. Не дается ни сам объект, ни способ его построения. Необходимо предъявить объект или процедуру конструктивного порождения.

Из множества логических законов интуиционисты пытались выбросить неконструктивные средства (например, закон снятия ). Конструктивные оставить.

Одни и те же законы применяются и к конечным, и к бесконечным множествам. Это неправильно. Теория актуальной бесконечности неверна.

Математический конструктивизм (в России)

Более рациональные термины, без мистического начала.

Отличие в трактовке истинности в классической логике и в интуиционистской.

Классика: аристотелевская трактовка, объективистский характер. Истина – соответствие реальному положению вещей в действительности.

Интуиционизм: Истина – конструктивная доказанность. То, что можно доказать средствами, не ведущими к парадоксам.

Нужно изменить трактовку всех связок.

Неформальная трактовка. Конструктивная доказанность ( а не истинность) формулы.

A&B ↔ конструктивно доказано А и конструктивно доказано В

AB ↔ конструктивно доказано А или конструктивно доказано В, причем известно, что именно.

A B ↔ имеется общий метод перестройки конструктивного доказательства А в конструктивное доказательство В.

А (А конструктивно опровергнуто) ↔ из допущения А конструктивно выводимо противоречие.

αА ↔ можно указать конкретный объект А, для которого конструктивно доказано А(а) (уже построен или существует алгоритм его построения).

αА ↔ имеет место общий метод конструктивного доказательства, что для каждого объекта из предметной области А(а).