Билет № 9. Парадоксы материальной импликации и классического понятия следования, их источники.

А	В	АB
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Материальная импликация – плохой аналог следования.

А  B: при наличии 1-ой ситуации, есть и 2-ая. 1-ая ситуация должна обуславливать 2-ую. Условная связь «если, то» в математике трактуется как .

Основана на 2 принципах – двузначность и экстенсиональность.

Но при одинаковых значениях составляющих, значение сложного может быть другим.

Адекватно условную связь выразить нельзя.

Задачи релевантной логики:

1. Адекватная экспликация условной связи.

2. Формулировка непарадоксального понятия логического следования (классическое следование парадоксально).

Парадоксы материальной импликации:

1. Материальные (из семантического определения , можно подобрать ложное высказывание с содержательной точки зрения)

2. Формальные (некоторые законы КлЛ противоречат интуиции).

p  (q  p)

p  (p  q)

(p  q)  (q  p)

(p& p)  q из невыполнимой формулы следует любое высказывание

p  (q  q) закон обусловлен произвольным высказыванием

• Парадоксы модальности (условная связь – □ утверждение, □ не может быть обусловлено чем-то □).

• Парадоксы релевантности (значение сложного зависит не только от значения простых, содержательная связь).

Антецедент и консеквент не релевантны друг другу.

Парадоксы классического следования:

A&A |= B

A |= B  B

История РЛ

1956 В.Аккерман- синтаксическая система РЛ

E: → должна формализовать |=

Огромное количество релевантных исчислений. Но нет семантики.

1943 А.Чёрч – система слабой импликации

Нач. 20-х гг. ХХв. – И. Орлов публиковал статьи о логике, детерминизме.

1928 – в «Математическом сборнике» опубликовал «Исчисление совместности предложений» - точный аналог Чёрча.

Постепенно стала появляться алгебраическая семантика.

КлЛ – одна, РЛ – много. Находились приемлемые принципы, но теоремами не являлись.

Богатые системы РЛ неразрешимы.

Система FDE (first degree entailment) – следование 1-ого уровня.

Е.К. Войшвилло построил семантику для FDE

• Выявил источники парадоксов и предложил содержательную трактовку 1-уровневой → на основе понятия инфы.

• Класс законов семантики Войшвилло совпал с классом теорем FDE.

Билет № 10. Первоуровневая релевантная логика: семантика оос, понятие релевантного следования, ат

Информационная семантика Войшвилло

Инфа высказывания – мера ограничения исходного множества возможностей принятием этого высказывания как истинного.

p	q	p&q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Исходное множество возможностей – М – множество приписывания значений пропозициональным переменным (строки).

М = {1,2,3,4}

Мp&q = {1}

Мp = {1,2} Мq = {1,3}

Чем уже МА, тем меньше неопределенность. Чем меньше неопределенность, тем больше инфа А.

А → В

Логическое содержание В есть часть логического содержания А ↔

Логическое содержание – инфа (I) ↔ I(B) есть часть I(A) ↔ МА  Мв ↔ α (TA/α  TВ/α)

КОС

Пусть L = { р,р, q, q, r, r, s, s, р1,р1…}

ОС α  L, если

 (α & α) непротиворечиво

 (α  α) полно

p	q	p&q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

α1 {p,q}

α2 {p, q}

α3 {p,q}

α4 {p, q}

М – множество ОС

TA/α – формула А истинна в ОС α

FA/α – формула А ложна в ОС α

Условия истинности и ложности формул:

1. Tр/α  р  α

Fр/α  р  α

2. TA/α  FA/α

FA/α  TA/α

3. TA&B/α  TA/α & TB/α

FA&B/α  FA/α  FB/α

4. TAB/α  TA/α  TB/α

FAB/α  FA/α & FB/α

Инфа закона логики нулевая – в силу предпосылки о непустоте ОС.

Инфа противоречивого высказывания максимальна в силу условия непротиворечивости ОС.

M – множество ООС (отказ от условий 1 и 2)

Заменив ОС на ОСС, мы получим:

α (TA/α & FA/α) противоречивые ООС

α (TA/α & FA/α) пустые ООС

Логика с истиннозначными провалами и пресыщенными оценками.

FDE

Релевантная импликация: A → B ≡Df A |― B *главный знак – только →

1. (A&B) → A

2. (A&B) → B

3. A → (AB)

4. B → (AB)

5. A → A

6. A → A

7. A& (BC) → (A&B)  (A&C)

A → B, B → C

R1. A → C

A → B, A → C

R2. A → (B&C)

A → C, B → C

R3. AB → C

A → B

R4. B → A

Отсутствуют 2 важных принципа:

- принцип всюдуопределенности истинностной оценки

- принцип запрета пресыщенных оценок (однозначности)

Метод АТ для FDE

Множество отмеченных формул замкнуто, если содержит ТС и Т'С или FС и F'С

A → B – закон, если существует замкнутая АТ, первая строка которой содержит единственное множество отмеченных формул ТА и Т'В.