2. Метрические унарные

через n единиц времени будет FⁿA F¹A – завтра будет морское сражение

n единиц времени назад было PⁿA

3. Бинарные (связанные с в-рядом)

раньше-позже; прежде, чем…; после того, как…

4. Бинарные (связанные с а-рядом)

а затем (and then) ATB ATⁿB Г.Х.фон Вригт

ATB ≡Df A&FB

ATⁿB ≡Df A&FⁿB

Билет № 7. Временная логика Kt: исчисление и семантика

Минимальная логика времени

50-е гг. ХХв. А.Н. Прайор – отталкивался от философских проблем, анализировал Диодора Кроноса.

Е. Леммон

Исчисление Kt (модальная система Т без 1 аксиомы)

Язык ЛВ + G, H (GА, HА – формулы)

FA ≡Df GА

PA ≡Df HА

A0.

А1. G(A B)  (GA  GB)

А2. H(A B)  (HA  HB)

А3. A  HFA

А4. A  GPA

A B,A

R1. B

|– A

R2. |– GA

|– A

R3. |– HA

Логика будущего, логика прошлого. Сопряженность настоящего, прошлого и будущего. Если модальность прошлого замкнута на модальность будущего, все будет справедливо. Зеркальность.

Семантика

<Т, t0, R, I > = Μ

1. T ≠  – множество моментов времени

2. t0  T – момент настоящего

3. R – отношение временного порядка R(t1,t2)

4. I – семантическая функция, которая приписывает значения переменным в определенный момент времени.

I (,t)  {и, л} реализуется принцип конкретности истинности

Условия истинности и ложности формул:

||t^M = и  I (,t) = и

= л  I (,t) = л

|А| t^M = и  |А|t = л

= л  |А|t = и

|А&B|t^M = и  |А|t = и & |B|t = и

= л  |А|t = л  |B|t = л

|АB|t^M = и  |А|t = и  |B|t = и

= л  |А|t = л & |B|t = л

|АB|t^M = и  |А|t = л  |B|t = и

= л  |А|t = и & |B|t = л

|GА|t^M = и  t' (R(t,t')  |А|t' = и)

= л  t' (R(t,t') & |А|t' = л)

|HА|t^M = и  t' (R(t',t)  |А|t' = и)

= л  t' (R(t',t) & |А|t' = л)

|FА|t^M = и  t' (R(t,t') & |А|t' = и)

= л  t' (R(t,t')  |А|t' = л)

|PА|t^M = и  t' (R(t',t) & |А|t' = и)

= л  t' (R(t',t)  |А|t' = л)

Формула А истинна в модели <T, t0, R, I > тогда и только тогда, когда |А|t0 = и

Формула А является законом, если А истинна в любой модели.

О свойствах времени речь вообще не идет. Никаких ограничений нет.

Вопрос об общезначимости – от противного.

Вопрос о необщезначимости – подбор конкретной М.

Билет № 8. Возможные свойства временного ряда и расширения Kt

Ограничения, накладываемые на временной ряд, иногда расширяют класс общезначимых формул.

1. t1 t2 (R t1,t2) Бесконечность в будущее

Kt + GA  FA

2. t1 t2 (R t2,t1) Бесконечность в прошлое

Kt + НA  PA

3. t1 t2 t3 ((R t1,t2) & (R t2,t3))  (R t1,t3) Транзитивность

Kt + GA  GGA

НA  HHA

4. t1 t2 (R t1,t2)  t3 ((R t1,t3)& (R t3,t2)) Плотность (между 2 любыми моментами времени можно найти 3-ий)

Kt + GGA  GA

НHA  HA

5. t1 t2 t3 ((R t1,t2) & (R t1,t3))  (R(t2,t3)  R (t3,t2)  t2=t3) Линейность времени в будущем

Kt + (FA&FB)  (F(A&FB)  F(B&FA)  F(A&B))

6. t1 t2 t3 ((R t2,t1) & (R t3,t1))  (R(t3,t2)  R (t2,t3)  t2=t3) Линейность времени в прошлом

Kt + (PA&PB)  (P(A&PB)  P(B&PA)  P(A&B))

7. t  R (t,t) Антирефлексивность (не приводит к расширению класса законов)