Билет № 5. Семантика возможных миров для нормальных модальных исчислений

Нормальные модальные исчисления

Логики алетических модальностей. Строятся как надстройки над классическими исчислениями.

Язык:

p, q, r…

   

□

( )

Формула: классич. логика + □A

◊A ≡Df □А

А ≡Df □А & □А А ≡Df ◊А & ◊А

A < B ≡Df □(A B)

T Р.Фейс и Г.Х.фон Вригт

А0.

А1. □А  А все необходимое действительно

А2. □(A B)  (□A □B)

A B,A

R1. B

|– A

R2. |– □A правило Гёделя (можно применять только к теоремам)

Определение вывода и доказательства – стандартные.

B Брауэр

Т + А3. А  □◊А

S4 Гёдель

Т + А4. □А  □□А

S5

Т + А3. + А4. = T + ◊А  □◊А

Семантика возможных миров для модальных исчислений

Долго искали адекватное семантическое отображение. На рубеже 50-60 гг. семантику нашли.

С.А. Крипке

Семантика для S5. Использовал понятие возможного мира. Семантики возможных миров.

Лейбниц: окружающий нас мир не является единственно возможным. Существуют некоторые факты, которые в нашем мире отсутствуют, а в другом присутствуют. И наоборот.

Возможный мир – то, что могло бы иметь место, если бы бог по-другому создавал мир.

Множественность возможных миров. Наш мир – лучший из возможных.

□А нельзя оценить, обращаясь только к нашему миру. А должно иметь место в любом альтернативном мире.

◊А – А имеет место по крайней мере в одном из миров.

Требования к возможным мирам: непротиворечивость, согласованность с объективными фундаментальными законами.

Понятие возможного мира до Крипке – Р.Карнап

Классическое описания состояния – множество, которое в качестве элементов содержит формулы и их отрицания.

• Условие непротиворечивости (нет одновременно р и р)

• Условие полноты (или р, или р)

Мир – совокупность фактов, а не вещей.

КОС - α

α  { р,р, q, q, r, r, s, s, р1,р1…}

 (α & α)

 (α  α)

Семантика возможных миров

<W, w0, R, I > = Μ

1. W ≠  – множество возможных миров

2. Выделяется 1 действительный мир w0  W

3. I – семантическая функция, которая приписывает значения

I (,w)  {и, л} реализуется принцип конкретности истинности

4. R – отношение достижимости (альтернативности) между возможными мирами.

R(w1, w2) – из w1 достижим w2; w2 – возможная альтернатива w1. w R(w,w)

Условия истинности и ложности формул:

||w^M = и  I (,w) = и

= л  I (,w) = л

|А| w^M = и  |А|w = л

= л  |А|w = и

|А&B|w^M = и  |А|w = и & |B|w = и

= л  |А|w = л  |B|w = л

|АB|w^M = и  |А|w = и  |B|w = и

= л  |А|w = л & |B|w = л

|АB|w^M = и  |А|w = л  |B|w = и

= л  |А|w = и & |B|w = л

|□А|w^M = и  w' (R(w,w')  |А|w' = и)

= л  w' (R(w,w') & |А|w' = л)

|◊А|w^M = и  w' (R(w,w') & |А|w' = и)

= л  w' (R(w,w')  |А|w' = л)

Формула А истинна в модели <W, w0, R, I > тогда и только тогда, когда |А|w0 = и

Формула А является законом, если А истинна в любой модели .

Семантическая непротиворечивость и полнота.

Для других систем. Накладывая ограничения, мы расширяем класс общезначимых формул.

T: R - рефлексивно

B: R – рефлексивно и симметрично

S4: R – рефлексивно и транзитивно

S5: R – рефлексивно, симметрично и транзитивно (отношение эквивалентности).

Билет № 6. Логический анализ овремененных высказываний. Трактовки временного ряда. Виды временных модальностей

Овременённые высказывания – высказывания, которые содержат временной параметр или временную характеристику.

• Временной параметр – указание на конкретный момент времени или временной интервал.

• Временная характеристика – характеристика ситуации или связи между ситуациями относительно некоторого временного ряда, потока; указание ее места.

Множество трактовок временного ряда.

Д.МакТаггарт – 2 возможные трактовки

А–ряд: 3 сферы – прошлое, настоящее и будущее (ОВ утверждает наличие или отсутствие ситуации в прошлом, настоящем и будущем)

Сейчас идет дождь

В–ряд: ряд, в котором моменты времени упорядочены (ОВ указывает место ситуации во временном ряду).

Индия испытала ядерное оружие раньше, чем Пакистан.

Для характеристики ОВ можно использовать аппарат особого расширения КлЛ предикатов.

Р (а, t)

t – константа; терм, репрезентирующий соответствие моменту времени или временному интервалу.

t1 [ t2 – предшествование

t0 – настоящее время.

Иван – отличник Р (а,t0)

Иван был отличником t' (t'[t0 & Р (а,t'))

Иван будет отличником t' (t0[t' & Р (а,t'))

Виды временных модальностей А.Н. Прайор

1. Неметрические унарные (нет указания на конкретное время)

было Р (past)

всегда было H (history)

будет F (future)

всегда будет G (general)

сейчас N (now) ≡ А

вечно HA&A&GA

иногда PAAFA