5) Эпистемические:

С т.з. некоторой познавательной системы.

• Интерсубъективные: доказано, опровергнуто, неразрешимо

• S знает, что; S полагает, что; S уверен в том, что; S сомневается в том, что

II. По объектам модальной квалификации, по синтаксической роли:

1) Внешние (de dicto) – модальности речи, по существу пропозициональные связки.

2) Внутренние (de re) – модальности вещей, по существу внутренние связки (есть, не есть).

Фома Аквинский: □ SaS – «и», Sa^□S – «л» (*a^□ – необходимо присуще).

Петр Испанский: ◊ SiS – «л», Si^◊ S – «и».

□ SiP Si^□P

□ PiS – правильно; Pi^□S – неправильно

III. По местности (только для внешних):

1) Абсолютные (одноместные): необходимо, возможно, случайно, разрешено, хорошо и т.д.

2) Относительные (многоместные): а затем, с необходимостью влечет, хуже, лучше, производная обязанность (при каком-то условии).

IV.

1) Личностные (с позиции какого-то субъекта): S знает, что; S полагает, что

2) Безличностные (с субъектом не связано): необходимо, возможно, случайно, доказано.

История возникновения модальной логики

Создана в ХХ в. В конце 50-начале 60 гг. – с хорошей семантикой.

Аристотель

Силлогистика – модальная теория. Наряду с ассерторическими высказываниями вводятся еще аподиктические (□) и проблематические (◊).

16 типов высказываний.

Аристотелевская силлогистика строилась как исчисление. Никакой семантики нет. Постулируются правильные способы рассуждений.

Непонятно какой тип модальностей использует Аристотель. Лингвистически – внутренние модальности.

Теория непротиворечива, но вопрос в том, как интерпретировать.

В СВ четко различали внутренние и внешние модальности.

Был сформулирован вариант модальной силлогистики.

de dicto

Модальность заключения не должна быть сильнее слабейшей по модальности посылки. (□, -, ◊)

Если одна из посылок проблематическая, но другая должна быть аподиктической.

Современная логика

Первая идея о модальностях пришла в голову тем, кто занимался многозначной логикой.

В рамках двузначной логики модальности определить невозможно.

Я.Лукасевич

А	□А	◊А
1	1	1
½	0	1
0	0	0

Принципы минимальной модальной логики:

1. |– □р  р

2. не |– р  □р

3. |– р  ◊р

4. не |– ◊р  р

5. не |– ◊р

6. не |– □ р

7. |– ◊р ≡ □р

8. |– □р ≡ ◊р

А≡B, □А А≡B, ◊А

□B ◊B

Принцип экстенсиональности. Модальные контексты не являются экстенсиональными. Явная неадекватность.

В рамках конечнозначных логик определить модальности невозможно.

К.И. Льюис

Не решал задачу прояснения смысла терминов модальностей. Построил дедуктивную теорию строгой импликации.

A < B (бинарная модальность)

 иногда рассматривают как языковой аналог |=

А |= B ; |= А  В

Материальная импликация не является аналогом следования.

• А  (А  В)

Получается, что истинное высказывание следует из любого. Но! Логически истинное следует из любого, а не просто истинное. В |= А  А

• А  (А  В)

Получается, что из ложного высказывания следует любое. Но! Из логически ложного следует любое, а не из просто ложного. А & А |= В

Строгая импликация (< -условно, значок другой) должна быть аналогом следования.

А  В ≡ (А & В) фиксирует факт отсутствия

A < B ≡ ◊ (А & В) фиксирует невозможность факта

Льюис построил 5 систем аксиоматических исчислений.

S1 (с конечным числом аксиом и правилом подстановки)

A1. (p&q) < (q&p)

A2. (p&q) < p

A3. p < (pq)

A4. ((p&q)&r) < (p&(q&r)

А5.((p<q) & (q<r)) < (p<r)

А6.(p&(p<q)) < q

R1. правило подстановки

R2. A, В

А&B

R3. А<В, А

В

R4. А<В, В<А, СА

Св

□А ≡Df А < А

◊А ≡Df (А < А) возможно то, допущение чего не приводит к противоречию

Можно расширить систему, вводя в нее модальности.

S2 = S1 + ◊(p&q) < (◊p&◊q)

S3 = S1 + ◊(p<q) < (◊q < ◊р)

S4 = S1 + ◊◊p < ◊p □р < □□р

S5 = S1 + ◊p < □◊p возможность не исчезает

Гедель построил аналог S4, где исходные - □,◊