3 .3.2. Пример решения ргр №3

Исходные данные:

Дано сечения (рис. 3.3.2.), составленное из швеллера 1, вертикального листа 2 и неравнополочного уголка 3.

Решение:

1. ДАННЫЕ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА И ПОСТРОЕНИЙ:

Рис. 3.3.2. Расчётная схема

d = 6,5 мм; t = 11 мм; b = 100мм; (симметричное сечение) Швеллеры стальные по ГОСТ 8240-89

(центральные оси) (симметричное сечение)

В = 180 мм; b = 110 мм; t = 12мм; Уголки стальные неревнополчные по ГОСТ 8510-86

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ.

Строим в масштабе 1:2 фигуры заданного составного сечения (рис. 3.3.3.), проводим центральные оси для каждой фигуры (в точках . За начальные принимаем оси (проведены пунктирными линиями).

Согласно рисунок 3.3.3. имеем:

Далее для определения центральных осей составного сечения необходимо определить:

(3.3.1.)

где – статический момент рассматриваемой фигуры составного сечения относительно оси Х;

– площадь сечения фигуры;

(3.3.2.)

где – статический момент фигуры составного сечения относительно оси Y.

Рис. 3.3.3. Расчётная схема составного сечения

Координаты центра тяжести С составного сечения из уравнений 3.3.1. и 3.3.2.:

– откладываем от точки по осям .

Проводим через центр тяжести С центральные оси и составного сечения.

Вычисление осевых и центробежного моментов инерции составного сечения:

а) определение координат центров тяжести относительно центральных осей, рисунок 3.3.3:

б) пользуясь формулами перехода к параллельным осям, вычисляем требуемые моменты инерции составного сечения:

;

.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ.

откуда угол поворота центральных осей: 2𝛼= – 28°, 2𝛼= – 14 °.

Проводим главные оси, повернув центральные оси по ходу часовой стрелки на угол 14°. Главные оси обозначены V и U и показаны на рисунке 3.3.3 толстой линией (в РГР обозначить красным или другим цветом).

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ.

Теоретические значения главных моментов инерции составного сечения:

6. ПРОВЕРКА ЗНАЧЕНИЙ ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ.

а) аналитическое условие:

(3.3.3.)

, или

(условие выполнено);

б) графическое определение :

построим круг инерции (круг Мора), для этого необходимо:

• на горизонтальной оси отложим в масштабе отрезки

и ;

• поделим отрезок BD пополам и получим центр С круга Мора;

• из точки В отложим ⊥ ОВ отрезок с учётом знака, получим полюс К круга инерции;

• проведем окружность радиусом и лучи КЕ, КА, которые являются главными осями сечения с углами наклона к горизонтальной оси;

• замерим отрезки , и определим величины главных моментов инерции:

.

• сравним результаты аналитического и графического решений:

Все необходимые построения по п.6 (б) приведены на рис. 3.3.4.:

Масштабный коэффициент построения

где – отрезок, назначенный на чертеже.

Результаты:

; (< 4 %)

; (< 4 %)

(замерен на рис. 3.3.4.).

Рис. 3.3.4. Круг Мора