3.1.2. Пример решения ргр № 1

И сходные данные:

Дано:

а = 0,4 м;

А = 20 см²;

F = 0,5 кН;

γ = 0,0078 кг/см³ (0,0764 Н/см³) – объёмная плотность материала бруса;

Е = 2·10⁵ МПа – модуль упругости стали.

Решение:

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ.

С

Рис. 3.1.2. Расчётная схема

оставим расчетную схему (рис. 3.1.2.), для чего разбиваем брус на четыре характерных участка (I, II, III, IV) с сечениями 1–1, 2–2, 3–3, 4–4 на участках.

Отбрасывая верхнюю часть бруса и заменяя действие её на оставшуюся часть нормальной силой (N₁, N₂, N₃, N₄), определим из условия статического равновесия соответствующие внутренние усилия:

Рис. 3.1.3. Схема расчёта методом мысленного сечения

Записываем уравнения равновесия, проектируя силы, действующие на оставшуюся часть бруса, на ось x. Обозначено: G_i – собственный вес оставшейся части бруса.

Сечение 1-1 (рис. 3.1.3, б): (участок I) 0 ≤ х₁ ≤ а.

(3.1.1.)

где → уравнение 1^й степени (наклонная прямая линия).

Из уравнения (3.1.1.) имеем

(3.1.2.)

Сечение 2-2 (рис. 3.1., в): (участок II) a ≤ х₂ ≤ 2а.

(3.1.3.)

где → уравнение 1^й степени.

Из уравнения (3.1.3.) имеем

(3.1.4.)

Сечение 3-3 (рис 3.1.3, г): (участок III) 0 ≤ х₃ ≤ а.

(3.1.5.)

где → уравнение 1^й степени.

где → уравнение 1^й степени.

Из уравнения (3.1.5.) имеем

(3.1.6.)

.

Сечение 4-4 (рис. 3.1.3, д): (участок IV) а ≤ х₄ ≤ 2а.

(3.1.7.)

где → уравнение 1^й степени.

где → уравнение 1^й степени.

Из уравнения (3.1.7.) имеем

(3.1.8.)

2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ.

По расчетам данных п.1 строим эпюру (график) распределения внутренних сил по высоте бруса (рис. 3.1.4, б). Масштабный коэффициент построения эпюры N: μ_N =12,5 Н/мм.

3. РАСЧЕТ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СЕЧЕНИЯХ БРУСА.

Вычисляем напряжения в граничных точках участков:

(3.1.9.)

4. Построение эпюры напряжений.

По расчетным данным пункта 3 строим эпюру (график) распределения напряжений по высоте бруса (рис. 3.1.4, в). Масштабный коэффициент построения эпюры: μ_σ = 0,005 МПа / мм.

По эпюре напряжений находим основное сечение бруса, т.е. сечение с максимальным (по модулю) действующим напряжением.

В нашем случае, это сечения Е и С:

,

.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ I-I.

(3.1.10.)

где:

,

,

.

Сечение I - I переносится вниз вдоль оси бруса.

Рис.3.1.4. Эпюры внутренних усилий и напряжений