Vocabulary

1. A list of words to remember:

to admit (of) – допускать; предположить

appropriate – соответствующий, адекватный

axis – ось (мн.ч. – axes)

common – общеупотребительный, обыкновенный

convention – правило, общее согласие, договоренность

degree – степень

even (number) – четное число

odd (number) – нечетное число

to hold – оставаться в силе (о законе, принципе); проводить (конференцию); придерживаться чего-л.

to make headway – делать успехи, продвигаться вперед

nonetheless – тем не менее, все же

to observe – наблюдать

observation - наблюдение

origin – начало координат; источник, происхождение

to pend, pending – ожидающий решения, незавершенный, незаконченный

proof – доказательство

to prove - доказать

relation – зависимость, соответствие

bear a direct relation to – иметь непосредственное отношение к…

converse relation – обратное отношение

equality relation – отношение равенства

cross ratio – двойное отношение

remainder – остальная часть, остаток

2. Translate the following sentences into English:

1. Действительные числа можно изобразить в виде точек на прямой линии.

2. Не всякие алгебраические операции могут быть выполнены при помощи действительных чисел.

3. Действия сложения и умножения комплексных чисел коммутативны и ассоциативны.

4. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю.

5. Тем не менее, это не исключает возможности, что данное уравнение имеет решения, которые принадлежат более общему классу чисел.

6. Любые вычисления, включающие комплексные числа и действия сложения, вычитания, умножения и деления над ними, снова приведут к комплексным числам.

7. Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число также удовлетворяет этому уравнению.

8. Это неравенство допускает и полностью алгебраическое доказательство.

9. Порядок точек при вычислении двойного отношения важен.

3. Translate the following text into English.

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Р. Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI-XVII вв. «мнимыми». Однако даже для многих крупных учёных XVIIв. алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

Задача о выражении корней степени из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722). Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, к такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Он же ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей независимо выводы К. Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена У. Р. Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Problem solving

Can you solve the following problems and explain how you obtained the solution?

1. a) (8-2i) + (1-3i) - (15+7i) - (23-6i)

b) (1+i)(4-i)(-3+7i) + (3-2i)(i³-4)

c) ; d)

2. Find Re

3. Find all the complex numbers z such that Re z +Im z = |z|

4. Prove the identity |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²)

5. Find all the complex numbers z such that and

*Note:

Translate the following example with the explanation into Russian in the written form:

We define a number i by the equation

i²= -1 (1)

The addition of two complex numbers α=a+bi and β=c+di is defined by

α+β=(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i (2)

and their multiplication by

αβ=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)I (3)

The reader will observe that the last result can be obtained by multiplying out the two parentheses and using (1).

Another fact which is easily confirmed from (2) and (3) is that α+β=β+α, i.e., both addition and multiplication are independent of the order in which they are carried out. It is equally obvious that, in the case of three complex numbers α, β, γ, α+(β+γ) is identical with (α+β)+γ. The parentheses are therefore not necessary and we write the result as α+β+γ. A short computation will confirm that, similarly, α(βγ) = (α β)γ. This product may therefore be written αβγ.

The operations of addition and multiplication are thus both commutative and associative. Since it is easily confirmed that α(β+γ)= αβ+ αγ, multiplication is also distributive with respect to addition, or, to state it in less elegant language, expressions in parentheses may be handled according to the usual rules.

Give the English equivalents for:

легко подтвердить, не зависят от порядка; аналогично; так как; выражения в скобках; по обычным правилам.

Grammar Notes: