Практическое занятие 2 Получение временных характеристик динамических звеньев

Переходная характеристика (переходная функция) – это реакция звена или системы на входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции (рис. 9).

Рассмотрим наиболее удобные методы получения переходной характеристики.

Классический метод – путем решения дифференциального уравнения звена или системы.

Пример 2.1.

Найти переходную характеристику апериодического звена 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение звена: .

В соответствии с определением переходной характеристики замене абстрактного входного сигнала x₁ на единичную ступенчатую функцию будет соответствовать замена x₂ на переходную функцию:

.

Такая запись предусматривает решение дифференциального уравнения

на интервале времени .

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищут в виде суммы двух составляющих:

,

где h₀ – общее решение, h* – частное решение. В теории управления общее решение называют переходной составляющей, частное решение – вынужденной составляющей:

.

Переходную составляющую находят как решение однородного дифференциального уравнения:

в форме суммы экспонент с произвольными коэффициентами. В показателях степени экспонент используются корни характеристического уравнения.

Например, если все корни вещественные, причем кратные корни отсутствуют, переходная составляющая имеет вид:

.

В рассматриваемом примере характеристическое уравнение имеет вид:

и имеет один корень .

В результате получим выражение для переходной составляющей:

.

Вынужденную составляющую находят в форме, соответствующей правой части. Если правая часть – константа, вынужденная составляющая – также константа, и для ее нахождения достаточно в уравнении положить производные равными нулю. В результате: .

Результирующее полное решение уравнения:

.

Произвольные константы находят через начальные условия, которые для временных характеристик динамических звеньев принимаются равными нулю.

Найдем C₁: , C₁= -k.

В результате получена переходная характеристика:

.

Необходимо учесть, что в практических задачах переходные характеристики могут рассматриваться на различных временных интервалах. Для того, чтобы избавиться от необходимости отдельно указывать эту дополнительную информацию, выражения для переходных характеристик домножают на единичную ступенчатую функцию с соответствующим аргументом. Для рассматриваемого примера результат должен быть представлен в следующем виде:

. (2.1)

График переходной характеристики показан на рис. 10а.

Полученная характеристика показывает, что апериодическое звено 1-го порядка воспроизводит входной сигнал. Но это происходит с замедлением – по окончании переходного процесса. То есть данное звено характеризуется инерционностью.

Отметим дополнительно, что при наличии производных в правой части уравнения может возникнуть необходимость учитывать скачкообразное изменение начальных условий. Поэтому с учетом наличия других методов классический можно рекомендовать для решения уравнений без производных в правой части.

На основе полученной характеристики полезно проанализировать влияние параметров звена на его динамические свойства. Определим крутизну графика переходной характеристики при t=0:

,

при t=0 получаем . Отсюда можно сделать вывод о расположении касательной к графику h(t) в момент начала переходного процесса, отображенный на рис. 10б и позволяющий прогнозировать влияние величины постоянной времени на характер переходного процесса.

Таким образом, при увеличении значения постоянной времени переходный процесс замедляется. Постоянная времени характеризует инерционность динамического звена.

На рис. 10в отображено влияние на процесс в звене коэффициента передачи.

Операторный метод – на основе передаточной функции звена.

Воспользуемся определениями передаточной функции и переходной характеристики с учетом известного изображения по Лапласу единичной ступенчатой функции :

.

Следовательно, при заданной передаточной функции изображение переходной характеристики можно найти по формуле:

.

После этого переходная характеристика может быть найдена путем перехода от изображения к оригиналу одним из следующих способов:

- непосредственно с помощью таблицы изображений (Приложение 1) – в простейших случаях;

- разложением H(s) на сумму табличных изображений;

- с помощью теорем разложения [9].

Пример 2.2.

Найти переходную характеристику дифференцирующего звена с замедлением. Передаточная функция звена .

Найдем изображение переходной характеристики:

и воспользуемся строкой 3 из таблицы изображений (Приложение 1).

Преобразуем имеющееся изображение к табличному виду:

и с учетом линейности преобразования Лапласа получим искомую характеристику:

.

График переходной характеристики показан на рис. 11. Выполнив анализ, аналогичный примеру 2.1, определим расположение касательной к характеристике в начальный момент времени.

Пример 2.3.

Найти переходную характеристику интегрирующего звена с замедлением. Передаточная функция звена .

Найдем изображение переходной характеристики:

.

Разложим изображение на сумму:

.

Приведя разложение к общему знаменателю

и приравняв числители полученного и исходного выражений, получим уравнения для коэффициентов:

AT+C=0,

A+BT=0,

B=k,

откуда A= -kT, .

Воспользовавшись таблицей изображений с учетом линейности преобразования Лапласа запишем искомый оригинал как сумму:

.

Для построения характеристики сначала рассмотрим графики двух слагаемых полученного выражения (рис. 12а), которые помогают получить итоговый график (рис. 12б).

В наиболее сложных случаях для нахождения оригинала по изображению используют теоремы разложения.

Пример 2.4.

Найти переходную характеристику колебательного звена.

Передаточная функция звена , причем , что обеспечивает комплексные корни знаменателя.

Найдем изображение переходной характеристики:

.

Воспользуемся одной из теорем разложения: для изображения вида оригинал имеет форму , где s_i – корни полинома Y₃.

Корни полинома Y₃ в рассматриваемом примере имеют вид: .

Производная Y₃: .

Перейдем к оригиналу:

.

Теперь учтем теорему Эйлера и соответственно , а также соотношения: и .

Все это позволяет ввести в рассмотрение угол , причем принять и . С учетом этих соотношений продолжим преобразование выражения для переходной характеристики:

и окончательно

.

График характеристики отображает затухающий колебательный процесс (рис. 13). Учитывая , отметим, что амплитуда колебаний убывает в зависимости от времени по экспоненциальному закону (огибающие колебаний показаны пунктирными линиями).

Весовая характеристика (весовая функция, функция веса) – это реакция звена или системы на входной сигнал в виде функции (рис. 14).

Вспомним основные свойства функции (функции Дирака):

, , .

Рассмотрим наиболее удобные способы (методы) получения весовой характеристики.

Операторный метод.

Воспользуемся определениями передаточной функции и весовой характеристики с учетом известного изображения по Лапласу функции :

.

Следовательно, передаточная функция является изображением по Лапласу функции веса.

Пример 2.5.

Н

айти весовую характеристику апериодического звена 1-го порядка.

Преобразуем передаточную функцию звена к табличному виду

и запишем результат:

.

График весовой характеристики показан на рис. 15.

Получение весовой функции дифференцированием переходной характеристики.

Следствием полученного выше соотношения является следующая связь между весовой и переходной функциями:

.

Вернемся к последнему примеру.

Переходная характеристика апериодического звена 1-го порядка была получена выше в виде (2.1). Продифференцируем ее:

.

С учетом тождественного равенства нулю функции при всех упростим полученное выражение:

.

Контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. Как связаны между собой:

- передаточная и переходная функции?

- переходная и весовая функции?

- весовая и передаточная функции?

2. Как скажется повышение инерционности дифференцирующего звена с замедлением на его реакции на входной сигнал (на примере переходной характеристики)?

3. Проанализируйте влияние параметров колебательного звена на его динамические свойства (на примере переходной характеристики).

4. Получите, используя в каждом случае не менее двух способов, аналитические выражения и графики временных характеристик для динамических звеньев:

а) , T₁<T₂; б) , T₁>T₂;

в) ; г) .

Проанализируйте влияние параметров рассмотренных звеньев на их динамические свойства.

5. С использованием теоремы дифференцирования получите на основе переходной характеристики апериодического звена 1-го порядка переходные характеристики и функции веса следующих звеньев:

а) ; б) .