Практическое занятие 9 Примеры синтеза систем управления

В рамках данного практического занятия рассматриваются некоторые частные задачи параметрического синтеза – выбора значений параметров систем при заданных структурах из условий обеспечения требуемых значений показателей качества.

Пример 9.1.

Известен характеристический полином замкнутой системы с единичной обратной связью:

, T=10 c.

1. Подобрать значение k, обеспечивающее x_уст.=0,1 при задающем воздействии .

2. При каком предельном значении _з при найденном k запас устойчивости по фазе будет не менее 30?

При решении этой задачи учтем математическое описание особого динамического звена – звена с запаздыванием, или элемента запаздывания, обеспечивающего смещение входного сигнала во времени на величину -_з. Передаточная функция элемента запаздывания получается непосредственно на основе теоремы запаздывания для преобразования Лапласа:

.

Переходная характеристика такого звена имеет вид h(t)=1(t-_з).

Получим его частотные характеристики:

,

,

.

Следовательно, данное звено не изменяет амплитуду входного сигнала, но вносит отрицательный фазовый сдвиг, неограниченно возрастающий с увеличением частоты. Отметим также, что наличие в системе такого звена не влияет и на установившуюся ошибку, так как .

По заданному характеристическому полиному можно сделать вывод о наличии в системе звена с запаздыванием и восстановить передаточную функцию разомкнутой системы:

.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

.

Рассчитаем установившуюся ошибку и приравняем ее к допустимому значению:

,

откуда k=100.

Запишем выражения для АЧХ и ФЧХ

,

.

и построим логарифмические характеристики разомкнутой системы (рис. 76).

По асимптотической ЛАХ найдем частоту среза _0 с^-1.

Теперь составим выражение для определения запаса устойчивости по фазе:

и с учетом его допустимого значения получим уравнение для определения искомого значения _з:

,

откуда

,

,

с.

Пример 9.2.

Подобрать коэффициенты ПД-регулятора, обеспечивающие колебательность  и установившуюся ошибку не более 0,01 при задающем воздействии для объекта управления с заданной моделью:

,

,

y=x₁

при следующих исходных данных: T=0,1; k₃=10; g₀=10; v=2; =2.

ПД (пропорционально-дифференциальный) регулятор реализует закон управления , где x=g-y.

Составим структурно-динамическую схему системы (рис. 77) и получим передаточные функции:

,

.

Найдем установившуюся ошибку и учтем ее допустимое значение:

,

откуда k₁20. Для последующих расчетов примем k₁=20.

Найдем корни характеристического полинома:

,

.

Возможность обеспечить требуемую колебательность будет иметь место в том случае, если корни будут комплексными, то есть при . Решим это неравенство относительно искомого коэффициента k₂:

,

.

При выполнении этого условия получим:

, , .

Составим и решим уравнение

,

,

,

.

.

Искомое значение второго коэффициента ПД-регулятора k₂≈1,6.

Пример 9.3.

Подобрать k_y и k_ос, обеспечивающие астатизм первого порядка по задающему воздействию и запас устойчивости по амплитуде 8 дБ для системы со структурно-динамической схемой на рис. 78. Принять k₀=2; Т₁=0,2; T₂=0,1.

Условия задачи предусматривают обеспечение астатизма первого порядка для статической системы путем введения неединичной обратной связи.

Составим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

,

,

.

Найдем выражение для расчета установившейся ошибки и получим соотношение для выбора коэффициента k_ос из условия x_уст=0 при :

,

,

.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы:

.

Необходимое условие устойчивости выполняется при любых значениях параметров, критерий устойчивости Гурвица приводит к неравенству:

,

или для коэффициента передачи разомкнутой системы k=k_уk₀:

.

Требуемый запас устойчивости по амплитуде 8 дБ в соответствии с соотношением 20lgU₁=8 дБ составит в абсолютных единицах U₁=2,5, что приводит к следующему соотношению:

.

С учетом числовых данных задачи получаем систему уравнений для определения двух искомых коэффициентов:

,

.

Ее решение позволяет получить следующие результаты:

,

,

,

, .

Контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. Проанализируйте влияние величины каждого параметра систем из примеров 9.2, 9.3 на запас устойчивости системы.

2. Для системы на рис. 79 подберите значения коэффициентов k_в и k_ос, обеспечивающие равенство нулю установившейся ошибки при и .

3. Проанализируйте влияние величин подбираемых в предыдущей задаче коэффициентов на запас устойчивости системы.

4. Среди типовых динамических звеньев выбрать регулятор для системы на рис. 80 и подобрать его параметры, обеспечивающие получение установившейся ошибки x_уст=0,1 при запасе устойчивости 14 дБ при ; k₀=2; Т₁=0,02; T₂=0,1.

5. Для исходной структуры (без связи, показанной пунктиром) оценить точность и запас устойчивости системы на рис. 81 при , k₁=4; k₂=5; Т=0,01.

Подобрать значение k_в, обеспечивающее повышение точности в 3 раза. Как изменится запас устойчивости?