ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Практикум

Основы теории управления: практикум / В.Ю. Емельянов, А.Ю. Захаров, Е.А. Курилова, О.А. Мишина; под ред. В.Ю. Емельянова; Балт. гос. техн. ун-т; СПб., 2015. с.

Представлены материалы аудиторного и лабораторного практикумов, посвященных основам теории линейных непрерывных систем управления.

Содержит материалы девяти практических занятий, два домашних задания и описание семи лабораторных работ, выполняемых с помощью комплекса контрольно-обучающих программ.

Рассматриваются построение математических моделей динамических звеньев и систем управления, получение временных, частотных и логарифмических частотных характеристик, анализ устойчивости и качества, некоторые задачи параметрического синтеза линейных непрерывных систем управления.

Представлены основные сведения из теории, большое количество примеров, практические рекомендации по выполнению лабораторных работ, наборы контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения, наборы индивидуальных вариантов домашних заданий, перечень рекомендуемой литературы.

Предназначено для студентов укрупненных групп направлений и специальностей (УГСН) 160000, 170000, 200000, 210000, 230000, изучающих дисциплины «Основы теории управления», «Управление в технических системах», «Радиоавтоматика» и др.

Аудиторный практикум Практическое занятие 1 Составление математических моделей динамических звеньев

При составлении математической модели системы ее разбивают на динамические звенья. Далее составляют математические модели динамических звеньев с использованием сведений из соответствующей их физической природе науки. После этого динамические звенья объединяют в модель системы, учитывая их взаимное влияние.

Динамическое звено – это устройство любой физической природы и любого конструктивного исполнения, описываемое дифференциальным уравнением определенного вида. То есть главное здесь – конкретное математическое описание. Именно с математическими моделями работает теория управления. Поэтому математическая модель звена или системы должна правильно отображать их свойства, существенные с точки зрения решаемой задачи.

Электрическая схема, электрический двигатель, кастрюля с супом, летательный аппарат, студенческая аудитория и пр. при определенных допущениях, определяемых условиями задачи, оказываются одним и тем же динамическим звеном, то есть демонстрируют аналогичные динамические свойства. Формально это определяется тем, что для всех этих объектов может быть получено одно и то же дифференциальное уравнение (различие может быть только в численных значениях коэффициентов).

Для одного и того же реального объекта могут быть составлены разные модели динамического звена – тоже в зависимости от условий задачи и допущений.

Фундаментальным свойством динамического звена является направленность действия. То есть с формальной точки зрения динамическое звено преобразует свои входные сигналы в выходные и ни в коем случае не наоборот.

Под входными сигналами понимают конкретные физические параметры, характеризующие воздействие на динамическое звено предшествующих по структурной схеме системы звеньев или внешней среды. Под выходными сигналами понимают конкретные физические параметры, характеризующие воздействие рассматриваемого звена на последующие по структурной схеме системы звенья.

В соответствии со сказанным для динамического звена используются условные обозначения, показанные на рис. 1: а) звено с одним входом и одним выходом; б) звено с тремя входами и двумя выходами.

Свойство направленности действия можно сформулировать несколько иначе: характеристики преобразования звеном входных сигналов не зависят от характеристик последующих звеньев, от их наличия или отсутствия.

Разбивать систему на динамические звенья необходимо так, чтобы каждое звено обладало свойством направленности действия. Поэтому часто структура модели системы отличается от ее функциональной схемы, отражающей состав реальных элементов. Если отдельные элементы системы не обладают рассматриваемым свойством, они могут разбиваться на динамические звенья или объединяться в них.

Пример 1.1.

Составить математическую модель динамического звена для четырехполюсника, схема которого представлена на рис. 2а. В качестве входного и выходного сигналов рассматривать напряжения на контактах четырехполюсника.

Р

ассмотрим вопрос о наличии у рассматриваемого звена свойства направленности действия. Как известно из электротехники, последующее устройство выполняет для четырехполюсника роль нагрузки (рис. 2б). Сопротивление нагрузки влияет на выходное напряжение любого электрического устройства. Пренебречь этим влиянием можно, если сопротивление нагрузки достаточно велико. В этом и последующих примерах принимается, что условия наличия свойства направленности действия имеют место.

Воспользуемся законами Ома, Кирхгофа и известным соотношением между напряжением и током конденсатора и составим уравнения, описывающие процессы в четырехполюснике (рис. 3):

u₁-u_R-u_C=0,

u_R=Ri,

,

u_C=u₂.

Полученная система уравнений приемлема с точки зрения прикладной науки, соответствующей физической природе рассматриваемого устройства, но не может рассматриваться как модель динамического звена. Дело в том, что с точки зрения теории управления физическая природа динамического звена не имеет значения. Учитываются только его динамические свойства, отраженные абстрактной математической моделью. Поэтому к записи моделей динамических звеньев предъявляются совершенно определенные жесткие требования:

1. В дифференциальном уравнении звена должны присутствовать только входные и выходной сигнал (при наличии нескольких выходных сигналов для каждого составляется отдельное уравнение).

2. В левой части уравнения должны присутствовать только выходной сигнал и его производные, в правой – входные сигналы и их производные.

3. В левой части уравнения выходной сигнал должен иметь коэффициент единица. Если присутствуют только производные выходного сигнала, коэффициент единица должен быть при низшей производной.

Отметим, что к дифференциальному уравнению системы предъявляются те же требования, за исключением третьего.

Последовательными подстановками исключим из полученной системы уравнений все переменные, кроме входного u₁ и выходного u₂ сигналов (выполним первое требование):

.

Теперь выполним второе требование:

.

Третье требование оказалось также выполненным.

Теперь можно перейти к стандартной абстрактной форме записи модели динамического звена:

, (1.1)

где T=RC, k=1.

С

труктура полученного уравнения отражает наличие у динамического звена тех или иных свойств. Величины коэффициентов – глубину этих свойств. Поэтому коэффициенты уравнений динамических звеньев имеют различный смысл, названия и обозначения. Коэффициенты при производных – постоянные времени, коэффициенты при входных сигналах в правой части – коэффициенты передачи. При введении постоянных времени следует заботиться об обеспечении одинаковой размерности у всех слагаемых в уравнении (первая производная имеет размерность с^-1, вторая – с^-2 и так далее; постоянная времени имеет размерность «с»). При появлении в уравнении производных второго и более высокого порядка коэффициенты при них должны содержать произведения постоянных времени.

Пример 1.2.

Составить математическую модель динамического звена (рис. 4).

В соответствии со вторым законом Ньютона сила F уравновешивается силой динамического сопротивления жидкости движению поршня и силой упругости пружины:

F=F_д+F_у ,

где и .

В результате:

.

Перенесем слагаемые, содержащие выходной сигнал и его производную, в левую часть уравнения; входной сигнал – в правую часть:

.

Делением на k₂ приведем к единице коэффициент при выходном сигнале:

.

После выполнения всех требований к записи уравнения представим его в стандартной форме:

,

где , .

Нетрудно видеть, что в двух рассмотренных примерах получено одно и то же по структуре дифференциальное уравнение. Таким образом, с точки зрения теории управления два рассмотренных устройства различной физической природы между собой не различаются. Оба они будут рассматриваться как апериодическое звено 1-го порядка.

Вместе с дифференциальным уравнением и даже более часто в классической теории управления используется другая форма математического описания динамического звена или системы – передаточная функция.

Передаточная функция звена или системы – это отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях и отсутствии других входных сигналов:

.

В соответствии с этим определением можно сделать вывод, что при наличии нескольких входных и выходных сигналов для рассматриваемого звена или системы должен рассматриваться набор передаточных функций – от каждого входа к каждому выходу. Так для звена с тремя входами и двумя выходами (рис. 1б) должны быть получены шесть передаточных функций.

Переход от дифференциального уравнения звена к передаточной функции основан на свойстве линейности преобразования Лапласа и теореме дифференцирования . Отметим, что содержащееся в определении передаточной функции требование учета нулевых начальных условий упрощает выражение для изображения производной: и в общем случае . Оператор Лапласа при нулевых начальных условиях приобретает смысл символа дифференцирования.

Получим передаточную функцию апериодического звена 1-го порядка. С учетом указанных выше свойств перейдем от дифференциального уравнения звена (1.1) к операторному уравнению для изображений сигналов:

.

Полученное уравнение является алгебраическим и допускает следующее преобразование:

.

Разделив левую и правую части на X₁(s) и сомножитель при X₂(s), получим искомую передаточную функцию:

.

Уже этот простой пример демонстрирует взаимно однозначное соответствие между записанным строго в соответствии с правилами дифференциальным уравнением и передаточной функцией звена или системы – левая часть уравнения взаимно однозначно соответствует знаменателю передаточной функции, правая – числителю. Но это имеет место только при нулевых начальных условиях в соответствии с определением передаточной функции.

Пример 1.3.

Задано дифференциальное уравнение динамического звена:

,

Получить передаточную функцию.

Запишем передаточную функцию, учитывая отмеченное выше взаимно однозначное соответствие:

.

Аналогично выполняется и обратный переход.

Пример 1.4.

Составить математическую модель динамического звена (рис. 5).

Основой моделируемого устройства здесь является операционный усилитель, для которого может использоваться приближенное соотношение:

,

где Z_вх и Z_ос – комплексные сопротивления входной цепи и цепи обратной связи операционного усилителя (рис. 6).

Комплексные сопротивления Z_вх и Z_ос находят с учетом правил для последовательного и параллельного соединения элементов и выражений для комплексных сопротивлений реактивных элементов.

Известно, что для общего случая токов произвольной формы комплексные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности определяются выражениями:

и .

В результате для рассматриваемого примера получим:

и .

Теперь можем непосредственно получить искомую передаточную функцию:

,

и в общей форме опять получаем апериодическое звено первого порядка:

,

где , .

Следует отметить удобный способ получения передаточных функций четырехполюсников, если в качестве входного и выходного сигналов рассматриваются напряжения. Он основан на уравнении делителя напряжения (рис. 7) при достаточно большом сопротивлении нагрузки:

.

Вернемся к примеру 1.1. Для него U_вх=U₁, U_вых=U₂, Z₁=R и . В результате получим:

,

где T=RC, k=1. Результат полностью совпадает с полученным выше.

Использование рассмотренного способа возможно только, если схема четырехполюсника допускает выделение двух участков, то есть приводится к схеме простейшего делителя напряжения.

Теперь рассмотрим два примера, показывающих важность правильного выбора входных и выходных сигналов или правильного учета заданного их выбора.

Пример 1.5.

Составить математическую модель динамического звена (рис. 2а), рассматривая в качестве выходного сигнала ток через конденсатор: x₁=u₁, x₂=i.

Воспользуемся уравнениями из примера 1.1:

u₁-u_R-u_C=0,

u_R=Ri,

.

Подставим u_R в первое уравнение и выразим из него u_C:

u_C=u₁-Ri.

Теперь подставим u_C в третье уравнение:

.

Выполним правила записи уравнения динамического звена:

или

, ,

где T=RC, k=C.

Теперь наш четырехполюсник – другое динамическое звено – дифференцирующее звено с замедлением.

Пример 1.6.

Составить математическую модель динамического звена (рис. 2а), рассматривая ток в качестве входного сигнала: x₁=i, x₂=u₂.

Здесь достаточно двух уравнений:

,

u_C=u₂,

из которых получим:

, ;

,

,

где . Это идеальное интегрирующее звено.

Таким образом, даже для простейшего объекта в зависимости от выбора входного и выходного сигналов могут быть получены принципиально разные модели, отражающие иногда противоположные динамические свойства.

Контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. В чем состоит смысл понятий «динамическое звено» и «направленность действия»?

2. Перечислите правила записи уравнения динамического звена.

3. При каких условиях определяется передаточная функция?

4. Составьте уравнение динамического звена по передаточной функции:

.

5. Составьте дифференциальные уравнения и передаточные функции динамических звеньев, представленных на рис. 8.

6. Составьте модель динамического звена (рис. 2б) с учетом конечной нагрузки .

Изменятся ли тип звена и значения его параметров по сравнению с примером 1.1? Каков будет характер изменений?